Олимпиадные задачи из источника «1960 год» для 2-9 класса
Дана окружность и точка <i>A</i> внутри неё.
Найдите геометрическое место вершин <i>C</i> всевозможных прямоугольников <i>ABCD</i>, где точки <i>B</i> и <i>D</i> лежат на окружности.
Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
6<i>n</i>-значное число делится на 7. Последнюю цифру перенесли в начало. Доказать, что полученное число также делится на 7.
Число<i>A</i>делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2<i>A</i>представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2<i>A</i>=<i>a</i><sub>1</sub>+<i>a</i><sub>2</sub>+ ... +<i>a<sub>k</sub></i>, то из чисел<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a<sub>k</sub></i>можно выбрать часть, сумма которых равна<i>A</i>.
В квадрате со стороной 100 расположено<i>N</i>кругов радиуса 1, причём всякий отрезок длины 10, целиком расположенный внутри квадрата, пересекает хотя бы один круг. Доказать, что<i>N</i>$\ge$400.<i>Примечание Problems.Ru</i>: Рассматриваются <i>открытые</i> круги, то есть круги без ограничивающей их окружности.
Дан пятиугольник<i>ABCDE</i>.<i>AB</i>=<i>BC</i>=<i>CD</i>=<i>DE</i>,$\angle$<i>B</i>=$\angle$<i>D</i>= 90<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать, что пятиугольниками, равными данному, можно замостить плоскость.
Улитка ползёт с непостоянной скоростью. Несколько человек наблюдало за ней по очереди в течение 6 минут. Каждый начинал наблюдать раньше, чем кончал предыдущий, и наблюдал ровно 1 минуту. За эту минуту улитка проползла ровно 1 м. Доказать, что за все 6 минут улитка могла проползти самое большее 10 м.
Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через (<i>a, b</i>) поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером <i>a</i> и вертикали с номером <i>b</i>. Фишка с поля (<i>a, b</i>) может сделать ход на любое из восьми полей: (<i>a ± m, b ± n</i>), (<i>a ± n, b ± m</i>), где <i>m, n</i> – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав <i>x</i> ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что <i>x</i> чётно.
Каково наибольшее<i>n</i>, при котором так можно расположить<i>n</i>точек на плоскости, чтобы каждые 3 из них служили вершинами прямоугольного треугольника?
В каком-то году некоторое число ни в одном месяце не было воскресеньем. Определить это число.
Доказать, что любой несамопересекающийся пятиугольник лежит по одну сторону от хотя бы одной своей стороны.
Доказать, что из сторон произвольного четырёхугольника можно сложить трапецию.
Даны 4 точки:<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Найти такую точку<i>O</i>, что сумма расстояний от неё до данных точек минимальна.
В десятичной записи целого числа <i>A</i> все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше трёх.
Доказать, что <i>A</i> не является точным квадратом.
<i>a, b</i>и<i>n</i>– натуральные числа, и<i>n</i>нечётно. Докажите, что если числитель и знаменатель дроби <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78218/problem_78218_img_2.gif"> делятся на<i>n</i>, то и сама дробь делится на<i>n</i>.
Дан выпуклый многоугольник и точка<i>O</i>внутри него. Любая прямая, проходящая через точку<i>O</i>, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и<i>O</i>— центр симметрии.
Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде <i>p + n</i><sup>2<i>k</i></sup> ни при каких простых <i>p</i> и целых <i>n</i> и <i>k</i>.
Даны отрезки<i>AB</i>,<i>CD</i>и точка<i>O</i>. Конец отрезка называется "отмеченным", если прямая, проходящая через него и точку<i>O</i>, не пересекает другой отрезок. Сколько может быть отмеченных концов?
Через данную вершину<i>A</i>выпуклого четырёхугольника<i>ABCD</i>провести прямую, делящую его площадь пополам.
В турнире каждый шахматист половину всех очков набрал во встречах с участниками, занявшими три последних места.
Сколько всего человек принимало участие в турнире?
Доказать, что число, состоящее из 300 единиц и некоторого количества нулей, не является точным квадратом.
Доказать: число делителей <i>n</i> не превосходит 2<img width="27" height="33" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78208/problem_78208_img_2.gif">.
<i>M</i>и<i>N</i>— точки пересечения двух окружностей с центрами<i>O</i><sub>1</sub>и<i>O</i><sub>2</sub>. Прямая<i>O</i><sub>1</sub><i>M</i>пересекает1-ю окружность в точке<i>A</i><sub>1</sub>, а2-ю в точке<i>A</i><sub>2</sub>. Прямая<i>O</i><sub>2</sub><i>M</i>пересекает1-ю окружность в точке<i>B</i><sub>1</sub>, а2-ю в точке<i>B</i><sub>2</sub>. Доказать, что прямые<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>и<i>MN...
В составлении 40 задач приняло участие 30 студентов со всех пяти курсов. Каждые два однокурсника придумали одинаковое число задач. Каждые два студента с разных курсов придумали разное число задач. Сколько человек придумало ровно по одной задаче?