Присвоим дням недели номера от 0 до 6. Предположим, что искомое число n отлично от 31. Пусть n-е января является k-м по счету днём недели,

0 ≤ k ≤ 6.  Если год не високосный, то n-е марта будет днём недели с номером  k + 3 (mod 7).  Аналогично можно выразить, каким по номеру днём недели будет n-е число в каждом из следующих девяти месяцев. Среди этих номеров встретятся все остатки по модулю 7, значит, обязательно встретится воскресенье. Аналогично рассматривается случай високосного года. Отсюда  n = 31.

31-е.