При решении задачи могут представиться три возможности.

1. Точки A, B, C, D образуют выпуклый четырёхугольник. В этом случае для любой точки M имеем неравенства:

   MA + MC	$\displaystyle \ge$AC,	(83)
   MB + MD	$\displaystyle \ge$BD,	(84)

   
   складывая которые, мы убедимся в том, что искомой точкой является точка пересечения диагоналей AC и BD. (Для этой точки сумма расстояний до вершин как раз равна AC + BD; для всех остальных точек эта сумма, как мы видим, больше).
2. Точки A, В, С, D не образуют выпуклого четырёхугольника, но не лежат на одной прямой. В этом случае одна из точек — пусть это будет D — лежит внутри или на стороне треугольника, образованного тремя остальными точками.

   Пусть точка M лежит внутри или на стороне треугольника BDC (если бы точка M лежала внутри или на стороне треугольника ABD или ACD, рассуждение было бы аналогичным). Проведём прямую AM и рассмотрим ту из вершин В, С, которая лежит по ту же сторону от прямой AM, что и точка D; пусть это будет вершина С. Тогда

   AM + СМ	$\displaystyle \ge$AD + CD,	(85)
   DM + BM	$\displaystyle \ge$BD.	(86)

   
   Складывая эти неравенства, мы обнаружим, что
   AM + BM + СМ + DM$\displaystyle \ge$AD + BD + CD,
   т. е. для точки D исследуемая сумма минимальна.

   Если точка D лежит по ту же сторону от прямой AM, что и вершина В, то написанные неравенства заменяются следующими:

   AM + BM$\displaystyle \ge$AD + BD,    DM + CM$\displaystyle \ge$CD,
   откуда, складывая, получаем то же соотношение. Если точка D лежит на прямой AM, то применимы любые из написанных неравенств. Итак, во втором случае искомая точка — точка D.
3. Точки A, В, С и D лежат на одной прямой. Пусть, например, точки С и D лежат между A и В; тогда искомой точкой будет любая точка M отрезка CD (для любой такой точки M сумма AM + BM + CM + DM равна AB + CD; для точки M, не лежащей на отрезке CD, эта сумма, как легко видеть, больше).

Ответ задачи отсутствует