Задача
Каково наибольшееn, при котором так можно расположитьnточек на плоскости, чтобы каждые 3 из них служили вершинами прямоугольного треугольника?
Решение
Выберем из всех отрезков, соединяющих (попарно) все точки, наибольший (или один из наибольших) и обозначим его черезAB. Очевидно, что во всех треугольниках, содержащих точкиAи В как вершины, отрезокAB(как наибольший) должен лежать против прямого угла. Таким образом,всерассматриваемые точки лежат на окружности с диаметромAB.
Пусть С — одна из точек. Выясним, где может лежать ещё одна точкаD, если она существует.
В треугольникеACDуголACDне прямой, так как иначе точкаDсовпадала бы с точкой В. Далее,$\angle$ADC$\ne$90o, так как он опирается на хордуAC, не являющуюся диаметром. Следовательно, в треугольникеACDпрямым должен быть уголDAC; отсюда следует, чтоCD — диаметр.
Итак, если кромеA, В, С есть ещё точки, то любая из них должна совпадать с концом диаметра, проходящего через точку С, откуда ясно, что наибольшее возможное значениеnравно 4 (четыре точки расположены в вершинах прямоугольника).
(Решение из книги [#!Leman!#].)
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь