Задачи и олимпиады по математике

Задача

Дан выпуклый многоугольник и точкаOвнутри него. Любая прямая, проходящая через точкуO, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный иO— центр симметрии.

Решение

Пустьl — некоторая прямая, проходящая через точку О;Aи В — точки её пересечения с границей многоугольника. Нам надо доказать, чтоOA=OВ (для любой прямойl, проходящей через точкуO). Допустим, напротив, что отрезкиOAиOВ не равны; пусть например,OA>OB.

Возьмём прямуюl', проходящую через О и пересекающую границу многоугольника в точках С иD, настолько близко расположенных от точекAиB(соответственно), чтобы былоOC>ODи, кроме того, чтобы на участках границы отAдоCи от В доDне было вершин многоугольника (в силу выпуклости многоугольника это всегда можно сделать). Прямаяlразбивает площадь многоугольника на частиS₁иS₂, прямаяl' — на частиS₁' иS₂', причём, по условию

S₁ = S₂, S₁^' = S₂^'.

Вычитая одно равенство из другого, получим

S_{$\scriptstyle \triangle$BOD} = S_{$\scriptstyle \triangle$AOC}.

Однако из равенств

S_{$\scriptstyle \triangle$AOC}	= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AO^.OC^.sin$\displaystyle \angle$AOC,
S_{$\scriptstyle \triangle$BOD}	= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BO^.OD^.sin$\displaystyle \angle$BOD

в силу соотношений

OA > OB, OC > OD, $\displaystyle \angle$AOC = $\displaystyle \angle$BOD

вытекает, чтоS_{$\scriptstyle \triangle$AOC}>S_{$\scriptstyle \triangle$BOD}. Полученное противоречие показывает, что для любой прямойl, проходящей через точку О, имеет место равенствоOA=OВ. Это и означает, чтоOесть центр симметрии многоугольника.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления