Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур»

Дан пятиугольник<i>ABCDE</i>.<i>AB</i>=<i>BC</i>=<i>CD</i>=<i>DE</i>,$\angle$<i>B</i>=$\angle$<i>D</i>= 90^<tt>o</tt>. Доказать, что пятиугольниками, равными данному, можно замостить плоскость.

Улитка ползёт с непостоянной скоростью. Несколько человек наблюдало за ней по очереди в течение 6 минут. Каждый начинал наблюдать раньше, чем кончал предыдущий, и наблюдал ровно 1 минуту. За эту минуту улитка проползла ровно 1 м. Доказать, что за все 6 минут улитка могла проползти самое большее 10 м.

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (<i>a, b</i>)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером <i>a</i> и вертикали с номером <i>b</i>. Фишка с поля  (<i>a, b</i>)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (<i>a ± m, b ± n</i>),  (<i>a ± n, b ± m</i>),  где <i>m, n</i> – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав <i>x</i> ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что <i>x</i> чётно.

Каково наибольшее<i>n</i>, при котором так можно расположить<i>n</i>точек на плоскости, чтобы каждые 3 из них служили вершинами прямоугольного треугольника?

Доказать, что из сторон произвольного четырёхугольника можно сложить трапецию.