Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 10 класса - сложность 2 с решениями

Найти такое трёхзначное число <i>A</i>², являющееся точным квадратом, что произведение его цифр равно  <i>A</i> – 1.

Дан многочлен  <i>x</i>(<i>x</i> + 1)(<i>x</i> + 2)(<i>x</i> + 3).  Найти его наименьшее значение.

Найти все действительные решения уравнения<i> x²+</i>2<i>x sin xy+</i>1<i>=</i>0.

Среди комплексных чисел <i> p </i>, удовлетворяющих условию  |<i>p</i> – 25<i>i</i>| ≤ 15,  найти число с наименьшим аргументом.

Найти все решения системы уравнений <center><i>

<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_2.gif">

</i></center> удовлетворяющие условиям0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> x<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π,;; </i>0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> y<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π </i>.

Доказать, что <center><i>

A= sin²</i>(<i>α+β</i>)<i>+ sin²</i>(<i>β-α</i>)<i>-</i>2<i> sin</i>(<i>α+β</i>)<i> sin</i>(<i>β-α</i>)<i> cos </i>2<i>α

</i></center> не зависит от<i> β </i>.

Делится ли многочлен  1 + <i>x</i>⁴ + <i>x</i>⁸ + ... + <i>x</i>^4<i>k</i>  на многочлен  1 + <i>x</i>² + <i>x</i>⁴ + ... + <i>x</i>^2<i>k</i>?

Докажите равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109154/problem_109154_img_2.gif">

Решить в целых числах уравнение  9<i>x</i> + 2 = (<i>y</i> + 1)<i>y</i>.

Доказать, что не существует многогранника, имеющего 7 рёбер.

Найти двузначное число, которое равно сумме куба числа его десятков и квадрата числа его единиц.

Решить уравнение  <i>x</i>² + 3<i>x</i> + 9 = 9<i>n</i>²  в целых числах.

Найти все действительные решения системы уравнений

    <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² = 1,

    <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ = 1.

Трапеция, основания которой равны <i>a</i> и <i>b</i>  (<i>a > b</i>),  рассечена прямой, параллельной основаниям, на две трапеции, площади которых относятся как  <i>k</i> : <i>p</i>.  Найти длину общей стороны образовавшихся трапеций.

Из таблицы <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109019/problem_109019_img_2.gif"></div>выбраны<i>a</i>чисел так, что никакие два из выбранных чисел не стоят в одной строке или в одном столбце таблицы. Вычислить сумму выбранных чисел.

Дано четыре положительных числа <i>a, p, c, k</i>, произведение которых равно 1. Доказать, что  <i>a</i>² + <i>p</i>² + <i>c</i>² + <i>k</i>² + <i>ap + ac + pc + ak + pk + ck</i> ≥ 10.

В треугольнике провести прямую, параллельную одной из сторон, так, чтобы площадь отсечённого треугольника равнялась ¹/_<i>k</i> площади данного треугольника (<i>k</i> – натуральное число), а оставшуюся часть треугольника разделить прямыми на <i>p</i> равновеликих частей. (Предполагается, что у нас есть отрезок единичной длины.)

От двух кусков сплавов (с различным содержанием свинца) массой в 6 и 12 кг отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание свинца в обоих сплавах стало одинаковым. Каковы массы каждого из отрезанных кусков?

Стороны треугольника<i> a,b </i>и<i> c </i>.<i> <img src="/storage/problem-media/109006/problem_109006_img_2.gif"> A=60^o </i>. Доказать, что <center><i>

3/(a+b+c)=1/(a+b)+1/(a+c).

</i></center>

Существуют ли в пространстве 4 точки<i> A,B,C,D </i>такие, что<i> AB=CD=8 </i>см;<i> AC=BD=10 </i>см;<i> AB+BC=13 </i>см?

В данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы все вершины прямоугольника лежали на сторонах треугольника.

Какую наибольшую площадь может иметь треугольник, стороны которого<i> a,b,c </i>заключены в следующих пределах: <center><i>

0<a<= 1<= b<= 2<= c<= 3?

</i></center>

Внутри правильного <i>n</i>-угольника со стороной <i>a</i> вписано <i>n</i> равных кругов так, что каждый круг касается двух смежных сторон многоугольника и двух соседних кругов. Найти площадь "звёздочки", ограниченной только дугами вписанных кругов.

Доказать, что из равенства   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108988/problem_108988_img_2.gif">   вытекает равенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/108988/problem_108988_img_3.gif">   если <i>k</i> нечётно.

Какими должны быть значения <i>a</i> и <i>b</i>,  чтобы многочлен   <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ + 2<i>x</i>² + <i>ax + b</i> был полным квадратом?