Задание олимпиады: для каких a и b многочлен x⁴+x³+2x²+ax+b — полный квадрат?
Задача
Какими должны быть значения a и b, чтобы многочлен x4 + x³ + 2x² + ax + b был полным квадратом?
Решение
Приведённый многочлен четвёртой степени может быть квадратом лишь приведённого квадратного трёхчлена. Итак,
x4 + x³ + 2x² + ax + b = (x² + px + q)². Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях аргумента в обеих частях тождества, получим 2p = 1, p² + 2q = 2, 2pq = a, q² = b. Решив эту систему уравнений, найдём p = ½, q = a = ⅞, b = 49/64.
Ответ
a = ⅞, b = 49/64.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет