Олимпиадная задача: Вписанный прямоугольник наибольшей площади в треугольник

  Рассмотрим сначала случай, когда одна вершина прямоугольника совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Тогда треугольники ADE и ACB подобны. Обозначим  AC = b,  BC = a,  CD = EF = b₁,  DE = CF = a₁. Из подобия треугольников получаем  DA : AC = ED : BC  или  ^b–b₁/_b = ^a₁/_a,  откуда

b₁ = ^(a–a₁)b/_a.  Площадь прямоугольника равна  a₁b₁ = ^{(a–a₁)a₁b}/_a.  Отбросив постоянный множитель ^b/_a, исследуем выражение  (a – a₁)a₁.  Оно принимает максимальное значение при  a₁ = ^a/₂.  Площадь соответствующего прямоугольника равна ^ab/₄. Отсюда видно, что и вторая сторона прямоугольника равна половине соответствующего катета.

  Случай, когда когда одна из сторон прямоугольника лежит на гипотенузе AB, сводится к предыдущему. Действительно, высота CD разбивает прямоугольник на два прямоугольника, каждый из которых вписан в соответствующий прямоугольный треугольник так, как было рассмотрено выше. По доказанному площадь прямоугольника не будет превосходить  ½ S_ABC.

Ответ задачи отсутствует