Олимпиадные задачи из источника «1971 год» - сложность 4 с решениями
а) Доказать, что сумма цифр числа <i>K</i> не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8<i>K</i>.
б) Для каких натуральных <i>k</i> существует такое положительное число <i>c<sub>k</sub></i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78791/problem_78791_img_2.gif"> ≥ <i>c<sub>k</sub></i> для всех натуральных <i>N</i>? Найдите наибольшее подходящее значение <i>c<sub>k</sub></i>.
Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178710">178710</a>и с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178716">178716</a>.)
С четырёх сторон шахматной доски размером <i>n×n</i> построена кайма шириной в два поля. Докажите, что кайму можно обойти шахматным конём, побывав на каждом поле один и только один раз, в тех и только тех случаях, когда <i>n</i> – 1 кратно 4.
Несколько человек в течение <i>t</i> минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти <i>t</i> минут?
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)
В таблице размером <i>m×n</i> записаны числа так, что для каждых двух строк и каждых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше чем (<i>n + m</i> – 1) чисел.
Докажите, что если для чисел <i>p</i><sub>1</sub>, <i>p</i><sub>2</sub>, <i>q</i><sub>1</sub> и <i>q</i><sub>2</sub> выполнено неравенство (<i>q</i><sub>1</sub> – <i>q</i><sub>2</sub>)² + (<i>p</i><sub>1</sub> – <i>p</i><sub>2</sub>)(<i>p</i><sub>1</sub><i>q</i><sub>2</sub> – <i>p</i><sub>2</sub><i>q</i><sub>1</sub>) < 0, то квадратные трёхчлены
<i>x</i>² + <i>p</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>q</i><sub>1</sub> и <i>x</i&...
Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.
В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<nobr><i>AB</i> = <i>a</i></nobr>и<nobr><i>CD</i> = <i>b</i></nobr>проведён отрезок<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, соединяющий середины диагоналей.<nobr>В полученной</nobr>трапеции проведён отрезок<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков<i>AB</i>,<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>,... какое-то число встретиться...
Для любых натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub></i>, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b<sub>m</sub></i> сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73620/problem_73620_img_2.gif"> не равна нулю. Докажите это.
Докажите, что числа 1, 2, ..., <i>n</i> ни при каком <i>n</i> > 1 нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.
<img src="/storage/problem-media/73603/problem_73603_img_2.png" width="400" height="417" vspace="10" hspace="20" align="right">Сетка линий, изображённая на рисунке, состоит из концентрических окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4,... и центром в<nobr>точке <i>О</i>,</nobr><nobr>прямой <i>l</i>,</nobr>проходящей через<nobr>точку <i>О</i></nobr>, и всевозможных касательных к окружностям,<nobr>параллельных <i>l</i>.</nobr>Вся плоскость разбита этими линиями на клетки, которые раскрашены в шахматном порядке. В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что...
<img align="RIGHT" src="/storage/problem-media/73602/problem_73602_img_2.gif">Ювелиру заказали золотое кольцо<nobr>шириной <i>h</i>,</nobr>имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с<nobr>центром <i>О</i></nobr>и поверхностью цилиндра<nobr>радиусом <i>r</i>,</nobr>ось которого проходит через<nobr>точку <i>О</i>.</nobr>Мастер сделал такое колечко, но<nobr>выбрал <i>r</i></nobr>слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если<i>r</i>нужно увеличить в<nobr><i>k</i> раз,</nobr>а<nobr>ширину <i>h</i></nobr>оставить прежней?
На бесконечном листе клетчатой бумаги <i>N</i>клеток окрашено в черный цвет. Докажите, что из этого листа можно вырезать конечное число квадратов так, что будут выполняться два условия: 1) все черные клетки лежат в вырезанных квадратах; 2) в любом вырезанном квадрате <i>K</i>площадь черных клеток составит не менее 1/5 и не более 4/5 площади <i>K</i>.
Пусть <i>A</i> – основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую <i>l</i>. На этой прямой взяты еще две точки <i>B</i> и <i>C</i> так, что
<i>AB = AC</i>. Через точки <i>B</i> и <i>C</i> проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, вторая – в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть прямые <i>PM</i> и <i>QN</i> пересекают прямую <i>l</i> в точках <i>R</i> и <i>S</i>. Докажите, что <i>AR = AS</i>.