Олимпиадные задачи из источника «1971 год» - сложность 3-4 с решениями
а) Доказать, что сумма цифр числа <i>K</i> не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8<i>K</i>.
б) Для каких натуральных <i>k</i> существует такое положительное число <i>c<sub>k</sub></i>, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78791/problem_78791_img_2.gif"> ≥ <i>c<sub>k</sub></i> для всех натуральных <i>N</i>? Найдите наибольшее подходящее значение <i>c<sub>k</sub></i>.
В колбе находится колония из<i>n</i>бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?
Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178710">178710</a>и с задачей<a href="https://mirolimp.ru/tasks/178716">178716</a>.)
В клетки таблицы <i>m×n</i> вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.
Собралось <i>n</i> человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
Дано <i>n</i> чисел, <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, при этом <i>x<sub>k</sub></i> = ±1. Доказать, что если <i>x</i><sub>1</sub><i>x</i><sub>2</sub> + <i>x</i><sub>2</sub><i>x</i><sub>3</sub> + ... + <i>x<sub>n</sub>x</i><sub>1</sub> = 0, то <i>n</i> делится на 4.
В некотором множестве введена<nobr>операция <font face="Symbol"></font>,</nobr>которая по каждым двум элементам<i>a</i><nobr>и <i>b</i></nobr>этого множества вычисляет некоторый элемент<i>a</i><font face="Symbol"></font><i>b</i>этого множества. Известно, что:<nobr>1°. Для любых трех элементов <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i></nobr> <nobr> <i>a</i><font face="Symbol"></font>(<i>b</i><font face="Symbol"></font><i>c</i>) = <i>b</i><font face="Symbol">*</font>(<i>c</i><font face="Symbo...
С четырёх сторон шахматной доски размером <i>n×n</i> построена кайма шириной в два поля. Докажите, что кайму можно обойти шахматным конём, побывав на каждом поле один и только один раз, в тех и только тех случаях, когда <i>n</i> – 1 кратно 4.
Несколько человек в течение <i>t</i> минут наблюдали за улиткой. Каждый наблюдал за ней ровно 1 минуту и заметил, что за эту минуту улитка проползла ровно 1 метр. Ни в один момент времени улитка не оставалась без наблюдения. Какой наименьший и какой наибольший путь могла она проползти за эти <i>t</i> минут?
В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)
По кругу выписано несколько чисел. Если для некоторых четырёх идущих подряд чисел <i>a, b, c, d</i> произведение чисел <i>a – d</i> и <i>b – c</i> отрицательно, то числа <i>b</i> и <i>c</i> можно поменять местами. Докажите, что такие операции можно проделать лишь конечное число раз.
Для любого натурального числа <i>n</i> существует составленное из цифр 1 и 2 число, делящееся на 2<sup><i>n</i></sup>. Докажите это.
(Например, на 2 делится 2, на 4 делится 12, на 8 делится 112, на 16 делится 2112...)
В таблице размером <i>m×n</i> записаны числа так, что для каждых двух строк и каждых двух столбцов сумма чисел в двух противоположных вершинах образуемого ими прямоугольника равна сумме чисел в двух других его вершинах. Часть чисел стёрли, но по оставшимся можно восстановить стёртые. Докажите, что осталось не меньше чем (<i>n + m</i> – 1) чисел.
а) Дан выпуклый многоугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i>. На стороне <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> взяты точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>D</i><sub>2</sub>, на стороне <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> – точки <i>B</i><sub>2</sub> и <i>D</i><sub>3</sub>, ..., на стороне <i>A</i><sub><i>n</i></sub><i>A</i><sub>1</sub> – точки <i>B</i><sub><i>n</i></sub> и <i>D</i><sub&g...
Докажите, что если для чисел <i>p</i><sub>1</sub>, <i>p</i><sub>2</sub>, <i>q</i><sub>1</sub> и <i>q</i><sub>2</sub> выполнено неравенство (<i>q</i><sub>1</sub> – <i>q</i><sub>2</sub>)² + (<i>p</i><sub>1</sub> – <i>p</i><sub>2</sub>)(<i>p</i><sub>1</sub><i>q</i><sub>2</sub> – <i>p</i><sub>2</sub><i>q</i><sub>1</sub>) < 0, то квадратные трёхчлены
<i>x</i>² + <i>p</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>q</i><sub>1</sub> и <i>x</i&...
Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
<i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>xy = a</i>,
<i>x</i>² – <i>y</i>² = <i>b</i>,
где <i>а</i> и <i>b</i> – некоторые данные действительные числа.
Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°<nobr>равна 45.</nobr>Докажите это.
В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<nobr><i>AB</i> = <i>a</i></nobr>и<nobr><i>CD</i> = <i>b</i></nobr>проведён отрезок<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>, соединяющий середины диагоналей.<nobr>В полученной</nobr>трапеции проведён отрезок<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков<i>AB</i>,<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub>,<i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub>,... какое-то число встретиться...
Про пять положительных чисел известно, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. Докажите, что произведение всех десяти таких разностей не превосходит квадрата произведения данных пяти чисел.
Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней – треугольник.
Докажите это.
Если<nobr><i>x</i><sub>1</sub> < <i>x</i><sub>2</sub> < <i>x</i><sub>3</sub> < ... < <i>x</i><sub><i>n</i></sub> —</nobr>натуральные числа, то сумма<nobr><i>n</i> – 1</nobr>дробей,<nobr><i>k</i>-я из</nobr>которых, где<nobr><i>k</i> < <i>n</i>,</nobr>равна отношению квадратного корня из разности<nobr><i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub> - <i>x</i><sub><i>k</i></sub></nobr>к числу<i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub>, меньше суммы чисел 1,<sup>1</sup>/<sub&g...
В любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.
а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.
б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").
Для любых натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>m</sub></i>, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b<sub>m</sub></i> сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73620/problem_73620_img_2.gif"> не равна нулю. Докажите это.
Докажите, что числа 1, 2, ..., <i>n</i> ни при каком <i>n</i> > 1 нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.