Задачи и олимпиады по математике

Задача

а) Дно прямоугольной коробки было выложено плитками размерами 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли одну плитку 2×2. Вместо неё удалось достать плитку 1×4. Докажите, что теперь выложить дно коробки плитками не удастся.

б) Останется ли верным утверждение задачи, если вместо плиток 1×4 и 2×2 рассматривать плитки из трёх квадратиков: прямоугольные 1×3 и "уголки").

Решение

а) Расчертим дно коробки на квадратики размера 1×1 и отметим те квадратики, которые стоят на нечётных местах в нечётных рядах (см. рис.).

Заметим, что каждая плитка 1×4, закрывающая четыре квадратика на дне коробки, будет закрывать обязательно чётное число отмеченных квадратиков (2 или 0), а плитка 2×2 всегда закрывает ровно один отмеченный квадратик. Таким образом, если плитки целиком закрывают дно коробки, то количество плиток 2×2 имеет ту же чётность, что и общее число отмеченных квадратиков на дне коробки. Поэтому, если количество плиток 2×2 изменилось на единицу (или вообще на нечётное число), то вновь заполнить коробку не удастся. б) Контрпример см. на рисунке.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления