Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 9 класса - сложность 1 с решениями

Замостите обычную шахматную доску плитками, изображенными на рис.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/58275/problem_58275_img_2.gif" border="1"></div>

Докажите, что четырехугольник (с границей и внутренностью) можно разбить на отрезки, т. е. представить в виде объединения непересекающихся отрезков.

Разрежьте произвольный треугольник на части, из которых можно составить треугольник, симметричный исходному относительно некоторой прямой (части переворачивать нельзя).

Разрежьте произвольный треугольник на 3 части и сложите из них прямоугольник.

На плоскости дано <i>n</i>попарно непараллельных прямых. Докажите, что угол между некоторыми двумя из них не больше180^<tt>o</tt>/<i>n</i>.

На плоскости даны точки <i>A</i>и <i>B</i>и прямая <i>l</i>. По какой траектории движется точка пересечения медиан треугольников<i>ABC</i>, если точка <i>C</i>движется по прямой <i>l</i>?

Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

Две окружности касаются в точке <i>K</i>. Через точку <i>K</i>проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках <i>A</i>и <i>B</i>, вторую — в точках <i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что<i>AB</i>|<i>CD</i>.

Две окружности касаются в точке <i>K</i>. Прямая, проходящая через точку <i>K</i>, пересекает эти окружности в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что касательные к окружностям, проведенные через точки <i>A</i>и <i>B</i>, параллельны.

Докажите, что при гомотетии окружность переходит в окружность.

Докажите, что при повороте на угол$\alpha$с центром в начале координат точка с координатами (<i>x</i>,<i>y</i>) переходит в точку<div align="CENTER"> (<i>x</i> cos$\displaystyle \alpha$ - <i>y</i> sin$\displaystyle \alpha$, <i>x</i> sin$\displaystyle \alpha$ + <i>y</i> cos$\displaystyle \alpha$). </div>

Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата образуют квадрат.

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.

Докажите, что треугольник<i>ABC</i>является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на60^<tt>o</tt>(либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки <i>A</i>вершина <i>B</i>переходит в <i>C</i>.

Докажите, что выпуклый<i>n</i>-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол360^<tt>o</tt>/<i>n</i>относительно некоторой точки.

Докажите, что при повороте окружность переходит в окружность.

Докажите, что если фигура имеет две перпендикулярные оси симметрии, то она имеет центр симметрии.

Ось симметрии многоугольника пересекает его стороны в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что точка <i>A</i>является либо вершиной многоугольника, либо серединой стороны, перпендикулярной оси симметрии.

Четырехугольник имеет ось симметрии. Докажите, что этот четырехугольник либо является равнобедренной трапецией, либо симметричен относительно диагонали.

Докажите, что окружность при осевой симметрии переходит в окружность.

Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.

Дан параллелограмм<i>ABCD</i>и точка <i>M</i>. Через точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>проведены прямые, параллельные прямым<i>MC</i>,<i>MD</i>,<i>MA</i>и <i>MB</i>соответственно. Докажите, что они пересекаются в одной точке.

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет центр симметрии.

Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.

Внутри прямоугольника<i>ABCD</i>взята точка <i>M</i>. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины<i>AB</i>и <i>BC</i>, стороны которого равны<i>AM</i>,<i>BM</i>,<i>CM</i>,<i>DM</i>.