Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 7 класса - сложность 4 с решениями

На плоскости расположено<i>n</i>$\ge$5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.

На окружности отметили 4<i>n</i>точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере <i>n</i>точек пересечения красных отрезков с синими.

Точка <i>O</i>, лежащая внутри выпуклого многоугольника<i>A</i>₁...<i>A</i>_n, обладает тем свойством, что любая прямая<i>OA</i>_iсодержит еще одну вершину <i>A</i>_j. Докажите, что кроме точки <i>O</i>никакая другая точка не обладает этим свойством.

а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно разрезать на неравные треугольники, подобные исходному. б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на неравные правильные треугольники.

В парке растет 10000 деревьев, посаженных квадратно-гнездовым способом (100 рядов по 100 деревьев). Какое наибольшее число деревьев можно срубить, чтобы выполнялось следующее условие: если встать на любой пень, то не будет видно ни одного другого пня? (Деревья можно считать достаточно тонкими.)

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

На каждой стороне четырехугольника <i>ABCD</i>взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник <i>ABCD</i>тоже описанный. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/56664/problem_56664_img_2.gif" border="1"></div>

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Вневписанная окружность треугольника<i>ABD</i>касается продолжений сторон <i>AD</i>и <i>AB</i>в точках <i>M</i>и <i>N</i>. Докажите, что точки пересечения отрезка <i>MN</i>с <i>BC</i>и <i>CD</i>лежат на вписанной окружности треугольника <i>BCD</i>.

К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные <i>AB</i>и <i>CD</i>. Докажите, что четырехугольник <i>ABCD</i>описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.

Многоугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A</i>_2nвписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при <i>n</i>нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при <i>n</i>четном оставшаяся пара сторон равна по длине.