Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Четырехугольники» - сложность 5 с решениями

Четыре прямые задают четыре треугольника. Докажите, что ортоцентры этих треугольников лежат на одной прямой.

Окружности, диаметрами которых служат стороны <i>AB</i>и <i>CD</i>выпуклого четырехугольника <i>ABCD</i>, касаются сторон <i>CD</i>и <i>AB</i>соответственно. Докажите, что <i>BC</i>|<i>AD</i>.

Дан выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>; <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁и <i>D</i>₁ — центры описанных окружностей треугольников <i>BCD</i>,<i>CDA</i>,<i>DAB</i>и <i>ABC</i>. Аналогично для четырехугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁определяются точки <i>A</i>₂,<i>B</i>₂,<i>C</i>₂и <i>D</i>₂. Докажите, что чет...

О выпуклом четырехугольнике <i>ABCD</i>известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники <i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>CDA</i>и <i>DAB</i>, равны между собой. Докажите, что <i>ABCD</i> — прямоугольник.