Пусть диагонали четырехугольника ABCDпересекаются в точке O; H_aи H_b — ортоцентры треугольников AOBи COD; K_aи K_b — середины сторон BCи AD; P — середина диагонали AC. Точки пересечения медиан треугольников AODи BOCделят отрезки K_aOи K_bOв отношении 1 : 2, поэтому нужно доказать, что H_aH_b$\perp$K_aK_b. Так как OH_a=AB|ctg$\varphi$| и OH_b=CD|ctg$\varphi$|, где $\varphi$=$\angle$AOB(см. задачу 5.45, б)), то OH_a:OH_b=PK_a:PK_b. Соответственные стороны углов H_aOH_bи K_aPK_bперпендикулярны; кроме того, векторы $\overrightarrow{OH_a}$и $\overrightarrow{OH_b}$направлены к прямым ABи CDпри $\varphi$< 90^oи от этих прямых при $\varphi$> 90^o. Поэтому $\angle$H_aOH_b=$\angle$K_aPK_bи $\triangle$H_aOH_b$\sim$$\triangle$K_aPK_b. Следовательно, H_aH_b$\perp$K_aK_b.

Ответ задачи отсутствует