Задача
Диагонали описанной трапеции ABCDс основаниями ADи BCпересекаются в точке O. Радиусы вписанных окружностей треугольников AOD,AOB,BOCи CODравны r1,r2,r3и r4соответственно. Докажите, что${\frac{1}{r_1}}$+${\frac{1}{r_3}}$=${\frac{1}{r_2}}$+${\frac{1}{r_4}}$.
Решение
Пусть S=SAOD,x=AO,y=DO,a=AB,b=BC,c=CD,d=DA; k — коэффициент подобия треугольников BOCи AOD. Тогда
$\displaystyle \aligned
2\left(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}\right)&=
\frac{d+x+...
...2}+\frac{1}{r_4}\right)&=
\frac{a+x+ky}{kS}+\frac{c+kx+y}{kS},
\endaligned$
так как SBOC=k2Sи SAOB=SCOD=kS. Поскольку
$\displaystyle {\frac{x+y}{S}}$ + $\displaystyle {\frac{x+y}{k^2S}}$ = $\displaystyle {\frac{x+ky}{kS}}$ + $\displaystyle {\frac{kx+y}{kS}}$,
остается заметить, что a+c=b+d=kd+d.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет