Олимпиадные задачи из источника «глава 28. Инверсия» - сложность 1-4 с решениями

В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃,<i>S</i>₄. Пусть <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃ — в точках <i>B</i>₁и <i>B</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄ — в точках <i>C</i>₁и <i>C</i>₂,&...

Даны четыре окружности, причем окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₃пересекаются с обеими окружностями <i>S</i>₂и <i>S</i>₄. Докажите, что если точки пересечения <i>S</i>₁с <i>S</i>₂и <i>S</i>₃с <i>S</i>₄лежат на одной окружности или прямой, то и точки пересечения <i>S</i>₁с <i>S</i>₄и <i>S</i>₂с <i>S</i>₃лежат на одной окружности или прямой (рис.). <div align="center"&g...

Окружность<i>S</i>_Aпроходит через точки<i>A</i>и<i>C</i>; окружность<i>S</i>_Bпроходит через точки<i>B</i>и<i>C</i>; центры обеих окружностей лежат на прямой<i>AB</i>. Окружность<i>S</i>касается окружностей<i>S</i>_Aи<i>S</i>_B, а кроме того, она касается отрезка<i>AB</i>в точке<i>C</i>₁. Докажите, что<i>CC</i>₁ — биссектриса треугольника<i>ABC</i>.

Две окружности, пересекающиеся в точке <i>A</i>, касаются окружности (или прямой) <i>S</i>₁в точках <i>B</i>₁и <i>C</i>₁, а окружности (или прямой) <i>S</i>₂в точках <i>B</i>₂и <i>C</i>₂(причем касание в <i>B</i>₂и <i>C</i>₂такое же, как в <i>B</i>₁и <i>C</i>₁). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников<i>AB</i>₁<i>C</i>₁и <i>AB</i><sub...

Через точки <i>A</i>и <i>B</i>проведены окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающиеся окружности <i>S</i>, и окружность <i>S</i>₃, перпендикулярная <i>S</i>. Докажите, что <i>S</i>₃образует равные углы с окружностями <i>S</i>₁и <i>S</i>₂.

Никакие три из четырех точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников<i>ABC</i>и <i>ABD</i>равен углу между описанными окружностями треугольников<i>ACD</i>и <i>BCD</i>.

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156701">3.44</a>).

Докажите, что инверсия с центром в вершине <i>A</i>равнобедренного треугольника<i>ABC</i>(<i>AB</i>=<i>AC</i>) и степенью<i>AB</i>²переводит основание<i>BC</i>треугольника в дугу<i>BC</i>описанной окружности.

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках <i>A</i>и <i>B</i>.

С помощью одного циркуля

  а) постройте точки пересечения данной окружности <i>S</i> и прямой, проходящей через данные точки <i>A</i> и <i>B</i>;

  б) постройте точку пересечения прямых <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂, где <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>A</i>₂ и <i>B</i>₂ – данные точки.

С помощью одного циркуля постройте окружность, в которую переходит данная прямая<i>AB</i>при инверсии относительно данной окружности с данным центром <i>O</i>.

Постройте с помощью одного циркуля точку, симметричную точке <i>A</i>относительно прямой, проходящей через данные точки <i>B</i>и <i>C</i>.

а) Постройте с помощью одного циркуля отрезок, который в два раза длиннее данного отрезка. б) Постройте с помощью одного циркуля отрезок, который в <i>n</i>раз длиннее данного отрезка.

Через данную точку проведите окружность, касающуюся двух данных окружностей (или окружности и прямой).

Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной окружности (или прямой).

Постройте образ точки <i>A</i>при инверсии относительно окружности <i>S</i>с центром <i>O</i>.

Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

Докажите, что при инверсии с центром <i>O</i>окружность, проходящая через <i>O</i>, переходит в прямую, а окружность, не проходящая через <i>O</i>, — в окружность.

Докажите, что при инверсии с центром <i>O</i>прямая <i>l</i>, не проходящая через <i>O</i>, переходит в окружность, проходящую через <i>O</i>.

Пусть при инверсии с центром <i>O</i> точка <i>A</i> переходит в <i>A'</i>, а точка <i>B</i> – в <i>B'</i>. Докажите, что треугольники <i>OAB</i> и <i>OB'A'</i> подобны.

Пользуясь только циркулем, разделите пополам данный отрезок, то есть постройте для данных точек <i>A</i> и <i>B</i> такую точку <i>C</i>, что точки <i>A, B, C</i> лежат на одной прямой и  <i>AC = BC</i>.