Задача
Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.
Решение
ЕслиI1, ...,In— отрезки, расположенные на плоскости, аO1, ...,On— их середины, то многоугольник$\lambda_{1}^{}$I1+ ... +$\lambda_{n}^{}$Inсимметричен относительно точки$\lambda_{1}^{}$O1+ ... +$\lambda_{n}^{}$On. Рассмотрим теперь выпуклый многоугольникA1...A2nс центром симметрииO. Перенесём отрезкиA1A2,A2A3, ...,AnAn + 1параллельно так, чтобы их середины попали в точкуO. Увеличим эти отрезки вnраз, оставив их середины неподвижными. ПустьI1, ...,In— полученные отрезки. Тогда сумма${\frac{1}{n}}$I1+ ... +${\frac{1}{n}}$In— исходный многоугольник.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь