Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Задачи на максимум и минимум» для 2-9 класса - сложность 1-2 с решениями
Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая всевозможные тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим наименьший из этих углов $\alpha$. Найдите наибольшее значение $\alpha$.
Внутри окружности с центром <i>O</i>дана точка <i>A</i>. Найдите точку <i>M</i>окружности, для которой угол<i>OMA</i>максимален.
Многоугольник имеет центр симметрии <i>O</i>. Докажите, что сумма расстояний до вершин минимальна для точки <i>O</i>.
Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину может иметь наибольшая диагональ этой трапеции?
Трапеция<i>ABCD</i>с основанием<i>AD</i>разрезана диагональю<i>AC</i>на два треугольника. Прямая <i>l</i>, параллельная основанию, разрезает эти треугольники на два треугольника и два четырехугольника. При каком положении прямой <i>l</i>сумма площадей полученных треугольников минимальна?
Диагонали выпуклого четырехугольника<i>ABCD</i>пересекаются в точке <i>O</i>. Какую наименьшую площадь может иметь этот четырехугольник, если площадь треугольника<i>AOB</i>равна 4, а площадь треугольника<i>COD</i>равна 9?
Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин была бы наименьшей.
Проведите через данную точку <i>P</i>, лежащую внутри угла<i>AOB</i>, прямую<i>MN</i>так, чтобы величина<i>OM</i>+<i>ON</i>была минимальной (точки <i>M</i>и <i>N</i>лежат на сторонах<i>OA</i>и<i>OB</i>).
На одной стороне острого угла даны точки <i>A</i>и <i>B</i>. Постройте на другой его стороне точку <i>C</i>, из которой отрезок<i>AB</i>виден под наибольшим углом.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Найдите на прямой<i>AB</i>точку <i>M</i>, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников<i>ACM</i>и<i>BCM</i>была бы наименьшей.
Из точки <i>M</i>, лежащей на стороне<i>AB</i>остроугольного треугольника<i>ABC</i>, опущены перпендикуляры<i>MP</i>и<i>MQ</i>на стороны<i>BC</i>и<i>AC</i>. При каком положении точки <i>M</i>длина отрезка<i>PQ</i>минимальна?
На гипотенузе <i>AB</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>X, M</i> и <i>N</i> – её проекции на катеты <i>AC</i> и <i>BC</i>.
а) При каком положении точки <i>X</i> длина отрезка <i>MN</i> будет наименьшей?
б) При каком положении точки <i>X</i> площадь четырёхугольника <i>CMXN</i> будет наибольшей?
Докажите, что треугольники с длинами сторон <i>a, b, c</i> и <i>a</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>1</sub>, <i>c</i><sub>1</sub> подобны тогда и только тогда, когда <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/57530/problem_57530_img_2.gif">
Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной <i>a</i> и углом α.
Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон <i>b</i> и <i>c</i>?
Докажите, что среди всех треугольников<i>ABC</i>с фиксированным углом $\alpha$и полупериметром <i>p</i>наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.
Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным углом $\alpha$и площадью <i>S</i>наименьшую длину стороны<i>BC</i>имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.