Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Подобные треугольники» - сложность 3-5 с решениями

Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Концы отрезка <i>EF</i>, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i>. Докажите, что  <i>AE</i> : <i>CF = AO</i> : <i>CO</i>.

К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.

Из произвольной точки<i>M</i>окружности, описанной около прямоугольника <i>ABCD</i>, опустили перпендикуляры <i>MQ</i>и<i>MP</i>на его две противоположные стороны и перпендикуляры <i>MR</i>и<i>MT</i>на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые<i>PR</i>и<i>QT</i>перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника <i>ABCD</i>.

На отрезке <i>AC</i>взята точка <i>B</i>и на отрезках <i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>построены полуокружности<i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃по одну сторону от<i>AC</i>.<i>D</i> — такая точка на<i>S</i>₃, что<i>BD</i>$\perp$<i>AC</i>. Общая касательная к<i>S</i>₁и<i>S</i>₂, касается этих полуокружностей в точках<i>F</i>и<i>E</i>соответственно. а) Докажите, что прямая <i>EF</i>параллельна касательной к<i>S</i>₃, п...

Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

а) Докажите, что высоты <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ остроугольного треугольника <i>ABC</i> делят углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ пополам.

б) На сторонах <i>AB, BC</i> и <i>CA</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>C</i>₁, <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ соответственно.

Докажите, что если  ∠<i>B</i>₁<i>A</i>₁<i>C</i> =...

На сторонах выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам <i>A</i> и <i>C</i>. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

На неравных сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены равнобедренные треугольники<i>AC</i>₁<i>B</i>и<i>AB</i>₁<i>C</i>с углом φ при вершине.   а)<i>M</i>– точка медианы<i>AA</i>₁(или её продолжения), равноудаленная от точек<i>B</i>₁и<i>C</i>₁. Докажите, что  ∠<i>B</i>₁<i>MC</i>₁= φ.   б)<i>O</i>– точка серединного перпендикуляра к отрезку<i>BC</i>, равноудаленная от точек<i>B</i>₁и<i&g...

а) На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>треугольника<i>ABC</i>внешним образом построены прямоугольные треугольники<i>ABC</i>₁и<i>AB</i>₁<i>C</i>, причём  ∠<i>C</i>₁= ∠<i>B</i>₁= 90°, ∠<i>ABC</i>₁= ∠<i>ACB</i>₁= φ, <i>M</i>– середина<i>BC</i>. Докажите, что  <i>MB</i>₁=<i>MC</i>₁и  ∠<i>B</i>₁<i>MC</i>₁= 2φ.б) На сторонах треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены п...

На сторонах произвольного треугольника <i>ABC</i> внешним образом построены равнобедренные треугольники с углами 2α, 2β и 2γ при вершинах <i>A', B'</i> и <i>C'</i>, причём  α + β + γ = 180°.  Докажите, что углы треугольника <i>A'B'C'</i> равны α, β и γ.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность радиуса <i>R</i> с центром <i>O</i>, причём  <i>AB = CD = EF = R</i>.  Докажите, что точки попарного пересечения описанных окружностей треугольников <i>BOC, DOE</i> и <i>FOA</i>, отличные от точки <i>O</i>, являются вершинами правильного треугольника со стороной <i>R</i>.

На сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i>, длины которых равны <i>a, b, c</i> и <i>d</i>, внешним образом построены прямоугольники размером <i>a</i>×<i>с, b</i>×<i>d, с</i>×<i>a</i> и <i>d</i>×<i>b</i>. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.

На катетах <i>CA</i> и <i>CB</i> равнобедренного прямоугольного треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>D</i> и <i>E</i> так, что  <i>CD = CE</i>.  Продолжения перпендикуляров, опущенных из точек <i>D</i> и <i>C</i> на прямую <i>AE</i>, пересекают гипотенузу <i>AB</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что  <i>KL = LB</i>.

На отрезке <i>MN</i> построены подобные, одинаково ориентированные треугольники <i>AMN, NBM</i> и <i>MNC</i> (см. рис.).

Докажите, что треугольник <i>ABC</i> подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек <i>M</i> и <i>N</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/56487/problem_56487_img_2.gif"></div>

На сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> взяты соответственно точки <i>P, Q, R</i> и <i>S</i>б  O – точка пересечения отрезков <i>PR</i> и <i>QS</i>.

Докажите,что если  <i>AP</i> : <i>AB = DR</i> : <i>DC</i>  и  <i>AS</i> : <i>AD = BQ</i> : <i>BC</i>,  то и  <i>SO</i> : <i>SQ = AP</i> : <i>AB</i>,  <i>PQ</i> : <i>PR = AS</i> : ;<i>AD</i>.

На продолжениях оснований <i>AD</i> и <i>BC</i> трапеции <i>ABCD</i> за точки <i>A</i> и <i>C</i> взяты точки <i>K</i> и <i>L</i>. Отрезок <i>KL</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>, а диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>O</i> и <i>P</i>. Докажите, что если  <i>KM = NL</i>,  то  <i>KO = PL</i>.

На сторонах остроугольного треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ так, что отрезки <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ пересекаются в точке <i>H</i>.

Докажите, что  <i>AH·A</i>₁<i>H = BH·B</i>₁<i>H = CH·C</i>₁<i>H</i>  тогда и только тогда, когда <i>H</i> – точка пересечения высот треугольника <i>ABC</i>.

Сторона <i>AD</i> прямоугольника <i>ABCD</i> в три раза больше стороны <i>AB</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> делят <i>AD</i> на три равные части. Найдите  ∠<i>AMB</i> + ∠<i>ANB</i> + ∠<i>ADB</i>.