Задача
На неравных сторонахABиACтреугольникаABCвнешним образом построены равнобедренные треугольникиAC1BиAB1Cс углом φ при вершине. а)M– точка медианыAA1(или её продолжения), равноудаленная от точекB1иC1. Докажите, что ∠B1MC1= φ. б)O– точка серединного перпендикуляра к отрезкуBC, равноудаленная от точекB1иC1. Докажите, что ∠B1OC1= 180° – φ.
Решение
а) ПустьB'– точка пересечения прямойACи перпендикуляра к прямойAB1, восставленного из точкиB1; точкаC'определяется аналогично. Так как AB':AC' = AC1:AB1=AB:AC, то B'C' || BC. ЕслиN– середина отрезкаB'C', то, как следует из задачи156505, NC1=NB1 (то есть N = M) и ∠B1NC1= 2∠AB'B1= 180° – 2∠CAB1= φ. б) Построим на стороне BC внешним образом равнобедренный треугольник BA1C с углом 360° – 2φ при вершине A1 (если φ < 90°, строим внутренним образом треугольник с углом 2φ). Так как сумма углов при вершинах трёх построенных равнобедренных треугольников равна 360°, треугольник A1B1C1 имеет углы 180° – φ, φ/2 и φ/2 (см. задачу 156503). В частности, этот треугольник равнобедренный, а значит, A1 = O.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь