Олимпиадные задачи из источника «глава 1. Подобные треугольники» - сложность 4-5 с решениями

К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.

Из произвольной точки<i>M</i>окружности, описанной около прямоугольника <i>ABCD</i>, опустили перпендикуляры <i>MQ</i>и<i>MP</i>на его две противоположные стороны и перпендикуляры <i>MR</i>и<i>MT</i>на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые<i>PR</i>и<i>QT</i>перпендикулярны, а точка их пересечения принадлежит диагонали прямоугольника <i>ABCD</i>.