Олимпиадные задачи из источника «Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки» для 5-9 класса - сложность 2-3 с решениями
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
НазадНа прямой сидят три кузнечика, каждую секунду прыгает один кузнечик. Он прыгает через какого-нибудь кузнечика (но не через двух сразу).
Докажите, что через 1985 секунд они не могут вернуться в исходное положение.
На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т.п.). Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?
В узлах клетчатой плоскости отмечено пять точек. Доказать, что есть две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел.
Найти все пары целых чисел (<i>x, y</i>), удовлетворяющие уравнению 3·2<sup><i>x</i></sup> + 1 = <i>y</i>².
Доказать, что никакая степень числа 2 не оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами.
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
В плоскости расположено 11 шестерёнок таким образом, что первая сцеплена со второй, вторая – с третьей, ..., одиннадцатая – с первой.
Могут ли они вращаться?
Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.
Найти остаток от деления на 7 числа 10<sup>10</sup> + 10<sup>10<sup>2</sup></sup> + 10<sup>10<sup>3</sup></sup> + ... + 10<sup>10<sup>10</sup></sup>.
Прямоугольная шоколадка размером 5×10 разбита продольными и поперечными углублениями на 50 квадратных долек. Двое играют в такую игру. Начинающий разламывает шоколадку по некоторому углублению на две прямоугольные части и кладёт на стол полученные части. Затем игроки по очереди делают аналогичные операции: каждый раз очередной игрок разламывает одну из частей на две части. Тот, кто первый отломит квадратную дольку (без углублений),<nobr>а) проигрывает;</nobr><nobr>б) выигрывает.</nobr>Кто из играющих может обеспечить себе выигрыш: начинающий или его партнёр?
Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> ≥ <i>a</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>a<sub>n</sub></i>, <i>b</i><sub>1</sub> ≥ <i>b</i><sub>2</sub> ≥ ... ≥ <i>b<sub>n</sub></i>, то наибольшая из сумм вида <i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>1</sub></sub> + <i>a</i><sub>2</sub><i>b</i><sub><i>k</i><sub>2</sub></sub> + ... + <i>a<sub>n</sub>b<sub>k<sub>n</sub></sub></i> (<i>k</i><sub>1</sub>, <i>k</i><sub>2<...
Докажите неравенство (<i>a + b + c + d</i> + 1)² ≥ 4(<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>² + <i>d</i>²) при <i>a, b, c, d</i> ∈ [0, 1].
Докажите, что при любом простом <i>p</i> <img align="middle" src="/storage/problem-media/60750/problem_60750_img_2.gif"> делится на <i>p</i>.
Пусть <i>n</i> – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо <i>n</i><sup>8</sup> + 1, либо <i>n</i><sup>8</sup> – 1 делится на 17.
Докажите тождества: а) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_2.gif"> б) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_3.gif"> в) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_4.gif"> г) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_5.gif"> д) <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_6.gif">(Попробуйте доказать эти тождества тремя разными способами: пользуясь тем, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/60413/problem_60413_img_7.gif"> – это количест...
Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?
а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных? б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?
Сколько существует десятизначных чисел, в записи которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?
На столе стоят семь стаканов – все вверх дном. За один ход можно перевернуть любые четыре стакана.
Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?
В таблице 25×25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.
Докажите, что если <i>x + y + z ≥ xyz</i>, то <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xyz</i>.
Докажите, что три неравенства <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30927/problem_30927_img_2.gif"> не могут быть все верны одновременно, если числа<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>,<i>a</i><sub>3</sub>,<i>b</i><sub>1</sub>,<i>b</i><sub>2</sub>,<i>b</i><sub>3</sub>положительны.
<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
1) <i>a + b < c + d</i>;
2) (<i>a + b</i>)<i>cd < ab</i>(<i>c + d</i>);
3) (<i>a + b</i>)(<i>c + d</i>) < <i>ab + cd</i>
неверно.
<i>x, y</i> > 0. Через <i>S</i> обозначим наименьшее из чисел <i>x</i>, <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub>, <i>y</i> + <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub>. Какое максимальное значение может принимать величина <i>S</i>?
Докажите, что для любого <i>x</i> выполнено неравенство <i>x</i><sup>4</sup> – <i>x</i>³ + 3<i>x</i>² – 2<i>x</i> + 2 ≥ 0.