Олимпиадные задачи из источника «Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел» для 10 класса - сложность 3 с решениями

На двух клетках шахматной доски стоят чёрная и белая фишки. За один ход можно передвинуть любую из них на соседнюю по вертикали или горизонтали клетку (две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли в результате таких ходов встретиться все возможные варианты расположения этих двух фишек, причём ровно по одному разу?

Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа ¹/_<i>n</i> и ¹/_<i>n</i>+1 выражаются конечными десятичными дробями.

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Найти все многочлены <i>P</i>(<i>x</i>), для которых справедливо тождество:  <i>xP</i>(<i>x</i> – 1) ≡ (<i>x</i> – 26)<i>P</i>(<i>x</i>).

Пусть  <i>P</i>(x) = <i>a_nxⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀  – многочлен с целыми коэффициентами.

Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3^<i>n</i>+1 – <i>P</i>(<i>n</i> + 1)|,  ...,  |3¹ – <i>P</i>(1)|,  |1 – <i>P</i>(0)|  не меньше 1.

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x + ... + a_nxⁿ</i>  имеет число –1 корнем кратности  <i>m</i> + 1  тогда и только тогда, когда выполнены условия:

    <i>a</i>₀ – <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ – <i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>ⁿa_n</i> = 0,

    – <i>a</i>₁ + 2<i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>&l...

Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) делится на свою производную тогда и только тогда, когда <i>P</i>(<i>x</i>) имеет вид  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_n</i>(<i>x – x</i>₀)^<i>n</i>.

<b>Из километров — в мили.</b>В задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160577">3.125</a>была введена фибоначчиева система счисления. Она оказывается удобной, когда нужно сделать перевод расстояния из километров в мили или наоборот. Предположим, что мы хотим узнать, сколько миль в 30 километрах. Для этого представляем число 30 в фибоначчиевой системе счисления:<div align="CENTER"> 30 = 21 + 8 + 1 = <i>F</i>₈ + <i>F</i>₆ + <i>F</i>₂ = (1010001)_F. </div>Теперь нужно сдвинуть каждое число на одну позицию вправо, получая<div align="CENTER"> <i>F</i>₇ + <i&gt...

Коля Васин, решая задачу, получил в ответе шестизначное число. А потом он подумал, что это произведение двух трехзначных чисел и выполнил умножение. Каким был первоначальный ответ, если второй ответ оказался в три раза меньше?

Докажите, что 13-е число месяца с большей вероятностью приходится на пятницу, чем на другие дни недели. Предполагается, что мы живем по Григорианскому стилю.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61528/problem_61528_img_2.gif">

Числа <i>P_kl</i>(<i>n</i>) определены в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161525">161525</a>.

Докажите, что при любых <i>k</i> и <i>l</i> многочлен <i>g_k,l</i>(<i>x</i>) является возвратным, то есть   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61527/problem_61527_img_2.gif">

(Определение многочленов Гаусса см. <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>.)

Выведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161519">161519</a> и равенством   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_2.gif">   где

<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61520/problem_61520_img_3.gif">   – обобщенные биномиальные коэффициенты.

Определение чисел Каталана можно найти в <a href="https://problems.ru/thes.php?%20letter=23#chisla_catalana">справочнике</a>.

Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + $\displaystyle {\frac{y^2}{2!}}$ + $\displaystyle {\frac{y^3}{3!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{y^n}{n!}}$ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.

Придумайте какое-либо взаимно-однозначное соответствие между разбиениями натурального числа на различные и на нечётные слагаемые.

На доске написано <i>n</i> натуральных чисел. Пусть <i>a_k</i> – количество тех из них, которые больше <i>k</i>. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные <i>a_k</i>. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.

Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка   (5, 3, 3, 2)  →  (4, 4, 3, 1, 1)  →  (5, 3, 3, 2).

Вычислите, используя производящие функции, следующие суммы:

а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_2.gif">    б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_3.gif">    в)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_4.gif">    г)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61508/problem_61508_img_5.gif">

Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи  <i>F</i>(<i>x, z</i>) = <i>F</i>₀(<i>x</i>) + <i>F</i>₁(<i>x</i>)<i>z + F</i>₂(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <i>F_n</i>(<i>x</i>)<i>zⁿ</i> + ...

и последовательности многочленов Люка   <i>L</i>(<i>x, z</i>) = <i>L</i>₀(<i>x</i>) + <i>L</i>₁(<i>x</i>)<i>z + L</i>₂(<i>x</i>)<i>z</i>² + ... + <...

Вычислите суммы а)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$${\dfrac{F_n}{2^n}}$;        б)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$${\dfrac{L_n}{2^n}}$. Здесь L_nобозначает числа Люка, смотри задачу<a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">3.133</a>.

а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче <a href="https://mirolimp.ru/tasks/160585">160585</a>)б) Пользуясь этой функцией, выразите <i>L_n</i> через φ и <img width="15" height="30" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61504/problem_61504_img_2.gif"> (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/161502">161502</a>).

Докажите, что бесконечная сумма<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT"> </td> <td align="LEFT">0, 1</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 01</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 002</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 0003</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="RIGHT">+</td> <td align="LEFT">0, 00005</td>...

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   <i>F</i>(<i>x</i>) = <i>F</i>₀ + <i>F</i>₁<i>x</i> + <i>F</i>₂<i>x</i>² + ... + <i>F_nxⁿ</i> + ... может быть записана в виде   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61502/problem_61502_img_2.gif">   где  <img width="15" height="28" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61502/problem_61502_img_3.gif"> = <img width="41" height="41" align="MIDDLE" border="0" s...

Функции <i>a, b</i> и <i>c</i> заданы рядами     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_2.gif">     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_3.gif">     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_4.gif">Докажите, что  <i>a</i>³ +<i>b</i>³ +<i>c</i>³ – 3<i>abc</i>= (1 +<i>x</i>³)^<i>n</i>.

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет <i>счастливым</i>, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть <i>N</i> – количество счастливых билетов. Докажите равенства:

  а)  (1 + <i>x</i> + ... + <i>x</i>⁹)³(1 + <i>x</i>^–1 + ... + <i>x</i>^–9)³ = <i>x</i>²⁷ + ... + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>N</i> + <i>a</i>₁<i>x</i> + ... + <i>x</i>^–27;...

Докажите, что для всех неотрицательных <i>n</i> выполняются равенства   а)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61496/problem_61496_img_2.gif">   б)   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61496/problem_61496_img_3.gif">