Олимпиадные задачи из источника «глава 6. Многочлены» для 11 класса - сложность 3 с решениями

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

Пусть  <i>P</i>(x) = <i>a_nxⁿ + ... + a</i>₁<i>x + a</i>₀  – многочлен с целыми коэффициентами.

Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3^<i>n</i>+1 – <i>P</i>(<i>n</i> + 1)|,  ...,  |3¹ – <i>P</i>(1)|,  |1 – <i>P</i>(0)|  не меньше 1.

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x + ... + a_nxⁿ</i>  имеет число –1 корнем кратности  <i>m</i> + 1  тогда и только тогда, когда выполнены условия:

    <i>a</i>₀ – <i>a</i>₁ + <i>a</i>₂ – <i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>ⁿa_n</i> = 0,

    – <i>a</i>₁ + 2<i>a</i>₂ – 3<i>a</i>₃ + ... + (–1)<i>&l...

Докажите, что многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) делится на свою производную тогда и только тогда, когда <i>P</i>(<i>x</i>) имеет вид  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a_n</i>(<i>x – x</i>₀)^<i>n</i>.

Докажите, что если  <i>f</i>(<i>x</i>) – многочлен, степень которого меньше <i>n</i>, то дробь   <img width="205" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_2.gif">   (<i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы <i>n</i> простейших дробей:   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61063/problem_61063_img_3.gif">

где  <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., <i>A<sub>...

Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Расстояния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов, равнялись

5, 7 и 2 километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов?

Корабль с постоянной скоростью проплывает мимо небольшого острова. Капитан каждый час измеряет расстояние до острова.

В 12, 14 и 15 часов расстояния равнялись 7, 5 и 11 километров соответственно.

Каким было расстояние до острова в 13 часов? Чему оно будет равно в 16 часов?

Найдите зависимость между коэффициентами кубического уравнения  <i>ax</i>³ + <i>bx</i>² + <i>cx + d</i> = 0,  если известно, что сумма двух его корней равна произведению этих корней.

Решите системы: а)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_2.gif"> б)  <i>x</i>(<i>y + z</i>) = 2,  <i>y</i>(<i>z + x</i>) = 2,  <i>z</i>(<i>x + y</i>) = 3; в)  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>x + y</i> = 32,  12(<i>x + y</i>) = 7<i>xy</i>; г)   <img align="middle" src="/storage/problem-media/61040/problem_61040_img_3.gif"> д)  <i>x + y + z</i> = 1,  <i>xy + xz + yz</i> = –4,  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i><sup>3</sup&gt...

а) Известно, что  <i>x + y = u + v,  x</i>² + <i>y</i>² = <i>u</i>² + <i>v</i>².

Докажите, что при любом натуральном <i>n</i> выполняется равенство  <i>xⁿ + yⁿ = uⁿ + vⁿ</i>. б) Известно, что  <i>x + y + z = u + v + t,  x</i>²+<i>y</i>²+<i>z</i>²=<i>u</i>²+<i>v</i>²+<i>t</i>², <i>x</i>³+<i>...

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения  <i>x</i>³ + <i>px</i>² + <i>qx + r</i> = 0  положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты <i>p, q</i> и <i>r</i> для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

Известно, что <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃ – корни уравнения  <i>x</i>³ – 2<i>x</i>² + <i>x</i> + 1 = 0.

Составьте новое уравнение, корнями которого были бы числа  <i>y</i>₁ = <i>x</i>₂<i>x</i>₃,  <i>y</i>₂ = <i>x</i>₁<i>x</i>₃,  <i>y</i>₃ = <i>x</i>₁<i>x</i>₂.

Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена  <i>x</i>³ + <i>x</i>² – 2<i>x</i> – 1.

Найдите все значения параметра <i>a</i>, при которых корни <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃ многочлена  <i>x</i>³ – 6<i>x</i>² + <i>ax + a</i>  удовлетворяют равенству

(<i>x</i>₁ – 3)³ + (<i>x</i>₂ – 3)³ + (<i>x</i>₃ – 3)³ = 0.

Выразите через элементарные симметрические многочлены следующие выражения:

  а}  (<i>x + y</i>)(<i>y + z</i>)(<i>x + z</i>);

  б}  <i>x</i>³ + <i>y</i>³ + <i>z</i>³ – 3<i>xyz</i>;

  в}  <i>x</i>³ + <i>y</i>³;

  г)  (<i>x</i>² + <i>y</i>²)(<i>y</i>² + <i>z</i>²)(<i>x</i>² + <i>z</i>²);

  д)   <img align="middle" src="/storage/prob...

Докажите, что многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i>^<i>n</i>+1 – 1)(<i>x</i>^<i>n</i>+2 – 1)...(<i>x^n+m</i> – 1)  делится на  <i>Q</i>(<i>x</i>) = (<i>x</i> – 1)(<i>x</i>² – 1)...(<i>x^m</i> – 1).

Докажите, что многочлен<i>x</i>²ⁿ-<i>nx</i>^{n + 1}+<i>nx</i>^{n - 1}- 1 при<i>n</i>> 1 имеет трехкратный корень<i>x</i>= 1.

Докажите, что многочлен<div align="CENTER"> <i>P</i>(<i>x</i>) = 1 + <i>x</i> + $\displaystyle {\frac{x^2}{2!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{x^n}{n!}}$ </div>не имеет кратных корней.

Докажите, что при нечетном <i>m</i> выражение  (<i>x + y + z</i>)^<i>m</i> – <i>x^m – y^m – z^m</i>  делится на  (<i>x + y + z</i>)³ – <i>x</i>³ – <i>y</i>³ – <i>z</i>³.

Докажите, что любой многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> можно единственным образом разложить по степеням  <i>x – c</i>: <div align="CENTER"><i>P</i>(<i>x</i>) = <img width="27" height="60" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61002/problem_61002_img_2.gif"> <i>c_k</i>(<i>x – c</i>)^<i>k</i>, </div>причем коэффициенты <i>c_k</i> могут быть найдены по формуле <div align="CENTER"><i>c_k</i> = <img width="8" height="57" align="MIDD...

Решите систему<div align="CENTER"> $\displaystyle \left{\vphantom{ \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}l x^6-x^5+x^4-x^3+5x^2=5,\ x^6-2x^5+3x^4-4x^3+2x=0. \end{array}$ </div>

Последовательность <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ... задана условиями  <i>a</i>₀ = 0,  <i>a</i>_<i>n</i>+1 = <i>P</i>(<i>a_n</i>)  (<i>n</i> ≥ 0),  где <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами,  <i>P</i>(<i>x</i>) > 0  при  <i>x</i> ≥ 0.

Докажите, что для любых натуральных <i>m</i> и <i>k</i>  (<i>a_m, a_k</i>) = <i>a</i>_{(<i>m, k</i>)}.

Найдите  (<i>xⁿ</i> – 1, <i>x^m</i> – 1).

Найдите наибольший общий делитель многочленов <i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>) и представьте его в виде  <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>):

  а)  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>⁴ + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² – 4<i>x</i> – 1,  <i>Q</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>³ + <i>x</i>² – <i>x</i> – 1;

  б)  <i>P</i>(<i>x</i>) = 3<i>x</i>⁴ – 5<i>x</i>³ + 4<i>x</i>² – 2<i>x</i&g...

Пусть  (<i>P</i>(<i>x</i>), <i>Q</i>(<i>x</i>)) = <i>D</i>(<i>x</i>).

Докажите, что существуют такие многочлены <i>U</i>(<i>x</i>) и <i>V</i>(<i>x</i>), что  deg<i>U</i> (<i>x</i>) < deg <i>Q</i>(<i>x</i>),  deg <i>V</i>(<i>x</i>) < deg <i>P</i>(<i>x</i>)  и   <i>P</i>(<i>x</i>)<i>U</i>(<i>x</i>) + <i>Q</i>(<i>x</i>)<i>V</i>(<i>x</i>) = <i>D</i>(<i>x</i>).