Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» для 9 класса - сложность 3 с решениями

В угол <i>A</i>, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке <i>M</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>Р</i> и <i>Q</i> соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство <i>S_PAQ < S_BMC</i>?

На плоскости дан квадрат<i> ABCD </i>. Найдите минимум частного<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115718/problem_115718_img_2.gif"> </i>, где<i> O </i>— произвольная точка плоскости.

Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).

Чему равен периметр внутреннего пятиугольника <i>ABCDE</i>, если длина исходной ломаной равна 1? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115687/problem_115687_img_2.gif"></div>

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Дан набор из<i> n></i>2векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Докажите, что если<i> α </i>,<i> β </i>и<i> γ </i>– углы остроугольного треугольника, то<i> sinα + sinβ + sinγ > </i>2.

Найдите все углы<i> α </i>, для которых набор чисел<i> sinα </i>,<i> sin</i>2<i>α </i>,<i> sin</i>3<i>α </i>совпадает с набором<i> cosα </i>,<i> cos</i>2<i>α </i>,<i> cos</i>3<i>α </i>.

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Все вершины треугольника<i> ABC </i>лежат внутри квадрата<i> K </i>. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри<i> K </i>.

Показать, что<i> sin </i>36<i>^o=</i>1/4<i><img src="/storage/problem-media/109145/problem_109145_img_2.gif"> </i>.

На плоскости даны точки<i> A </i>и<i> B </i>. Доказать, что множество всех точек<i> M </i>, удалённых от<i> A </i>в 3 раза больше, чем от<i> B </i>, есть окружность.

Найдите расстояние от точки<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y</i>0<i>;z</i>0)до плоскости<i> Ax+By+Cz+D=</i>0.

На рёбрах<i> AA</i>1,<i> AB </i>,<i> B</i>1<i>C</i>1и<i> BC </i>единичного куба<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1взяты точки<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно, причём<i> AL=<img src="/storage/problem-media/108865/problem_108865_img_2.gif"> </i>,<i> B</i>1<i>M = <img src="/storage/problem-media/108865/problem_108865_img_3.gif"> </i>,<i> CN = <img src="/storage/problem-media/108865/problem_108865_img_4.gif"> </i>. Определите, какое из рёбер<i> AB </i>или<i> AD </i>пересекает плоскость, парал...

На рёбрах<i> A</i>1<i>B</i>1,<i> AB </i>,<i> A</i>1<i>D</i>1и<i> DD</i>1единичного куба<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1взяты точки<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно, причём<i> A</i>1<i>K = <img src="/storage/problem-media/108864/problem_108864_img_2.gif"> </i>,<i> AL = <img src="/storage/problem-media/108864/problem_108864_img_3.gif"> </i>,<i> A</i>1<i>M = <img src="/storage/problem-media/108864/problem_108864_img_4.gif"> </i>. Определите, какое из рёбер<i> A</i>1<i>D&l...

Площади проекций некоторого треугольника на координатные плоскости<i> Oxy </i>и<i> Oyz </i>равны соответственно<i> <img src="/storage/problem-media/108863/problem_108863_img_2.gif"> </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/108863/problem_108863_img_3.gif"> </i>, а площадь проекции на плоскость<i> Oxz </i>– целое число. Найдите площадь самого треугольника, если известно, что она также является целым числом.

Основанием пирамиды<i> HPQR </i>является равнобедренный прямоугольный треугольник<i> PQR </i>, гипотенуза<i> PQ </i>которого равна2<i><img src="/storage/problem-media/108862/problem_108862_img_2.gif"> </i>. Боковое ребро пирамиды<i> HR </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку<i> H </i>и середину ребра<i> PR </i>, а другая проходит через точку<i> R </i>и середину ребра<i> PQ </i>.

Основанием пирамиды<i> HPQR </i>является равносторонний треугольник<i> PQR </i>, сторона которого равна2<i><img src="/storage/problem-media/108861/problem_108861_img_2.gif"> </i>. Боковое ребро<i> HR </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку<i> H </i>и середину ребра<i> QR </i>, а другая проходит через точку<i> R </i>и середину ребра<i> PQ </i>.

Основанием пирамиды<i> SABC </i>является равнобедренный прямоугольный треугольник<i> ABC </i>, гипотенуза<i> AB </i>которого равна4<i><img src="/storage/problem-media/108860/problem_108860_img_2.gif"> </i>. Боковое ребро пирамиды<i> SC </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку<i> S </i>и середину ребра<i> AC </i>, а другая проходит через точку<i> C </i>и середину ребра<i> AB </i>.

Маленький Петя подпилил все ножки у квадратной табуретки и четыре отпиленных кусочка потерял. Оказалось, что длины всех кусочков различны, и что табуретка после этого стоит на полу, пусть наклонно, но по-прежнему касаясь пола всеми четырьмя концами ножек. Дедушка решил починить табуретку, однако нашёл только три кусочка с длинами 8, 9 и 10 см. Какой длины может быть четвёртый кусочек?

Докажите, что расстояние от точки <!-- MATH $M(x_{0};y_{0})$ --> <i>M</i>(<i>x</i>₀;<i>y</i>₀) до прямой, заданной уравнением <!-- MATH $ax + by + c = 0$ --> <i>ax</i> + <i>by</i> + <i>c</i> = 0, равно <!-- MATH \begin{displaymath} \frac{|ax_{0}+ by_{0}+ c|}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}. \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\vert ax_{0}+ by_{0}+ c\vert}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$. </div>

Докажите, что любая прямая в декартовых координатах <i>xOy</i> имеет уравнение вида <!-- MATH $ax + by + c = 0$ --> <i>ax</i> + <i>by</i> + <i>c</i> = 0. где <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> — некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел <i>a</i>, <i>b</i> отлично от нуля.

В трапеции <i>ABCD  AB</i> – основание,  <i>AC = BC</i>,  <i>H</i> – середина <i>AB</i>. Пусть <i>l</i> – прямая, проходящая через точку <i>H</i> и пересекающая прямые <i>AD</i> и <i>BD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что либо углы <i>ACP</i> и <i>QCB</i> равны, либо их сумма равна 180°.

Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?