Олимпиадная задача для 8-9 классов: пересечение плоскости и ребра куба

Олимпиадная задача по стереометрии для 8-9 классов: плоскость и пересечение в кубе

Задача

На рёбрах A1B1, AB , A1D1и DD1единичного куба ABCDA1B1C1D1взяты точки K , L , M и N соответственно, причём A1K = , AL = , A1M = . Определите, какое из рёбер A1D1или D1C1пересекает плоскость, параллельную отрезку ML и содержащую отрезок KN . В каком отношении это ребро делится плоскостью?

Решение

Выберем систему координат с началом в точке A1. Ось x направим по лучу A1D1, ось y – по лучу A1B1, ось z – по лучу A1A . Тогда координаты точек K , L , M и N таковы:

K(0;;0), L(0;;1), M(;0;0), N(1;0;t),

где0 t 1. Отложим от точки L вектор

= = (0-;-0;0-0) = (-;;0).

Тогда точка P имеет координаты(-;;1). Искомая плоскость проходит через точки K , P и N . Ищем уравнение этой плоскости в виде ax+by+cz = 1. Подставляя в это уравнение координаты точек K , P и N , находим, что

c=, a=, b=.

После очевидных упрощений получим уравнение(9t+30)x+15(t+3)y+z=10(t+3).

Подставив нули вместо y и z найдём точку пересечения плоскости с прямой A1D1– x= , а т.к.0 t 1, то1 x . Значит, секущая плоскость не пересекает ребро A1D1.

Подставив в полученное уравнение x=1и z=0найдём точку пересечения плоскости с прямой D1C1– y= , а т.к.0 t 1, то0 y . Значит, секущая плоскость пересекает ребро D1C1и при этом точка пересечения делит это ребро в любом отношении от 0 до , считая от вершины D1.