Олимпиадная задача по математике: сумма тангенсов в треугольниках, 9-11 класс

Задача

Может ли сумма тангенсов углов одного треугольника равняться сумме тангенсов углов другого, если один из этих треугольников остроугольный, а другой тупоугольный?

Решение

Первый способ. Пусть$\alpha$,$\beta$и $\gamma$--углы одного из данных треугольников. Тогда

tg$\displaystyle \alpha$ + tg$\displaystyle \beta$ + tg$\displaystyle \gamma$ = tg$\displaystyle \alpha$ + tg$\displaystyle \beta$ + tg($\displaystyle \pi$ - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)) =

= tg$\displaystyle \alpha$ + tg$\displaystyle \beta$ - tg($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$) = tg($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)(1 - tg$\displaystyle \alpha$ tg$\displaystyle \beta$) - tg($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$) =

= - tg($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)tg$\displaystyle \alpha$ tg$\displaystyle \beta$ = tg$\displaystyle \alpha$ tg$\displaystyle \beta$tg$\displaystyle \gamma$.

Таким образом доказано, что равенство tg$\alpha$ + tg$\beta$ + tg$\gamma$ = tg$\alpha$tg$\beta$tg$\gamma$ верно для углов любого треугольника. Но в остроугольном треугольнике тангенс каждого угла положителен, поэтому их произведение --положительно. В тупоугольном треугольнике тангенс тупого угла отрицателен, а два других тангенса положительны, поэтому произведение трех тангенсов отрицательно.

Второй способ. Так как наибольший угол в тупоугольном треугольнике больше, чем в остроугольном, а сумма углов одинакова, то один из углов остроугольного треугольника больше одного из углов тупоугольного. Пусть в остроугольном треугольнике это угол $\alpha$. Другие два угла обозначим $\beta$ и $\gamma$. В тупоугольном треугольнике обозначим выбранный угол $\alpha{^\prime}$, другой острый угол --$\beta{^\prime}$, а тупой угол --$\gamma{^\prime}$. Поскольку углы $\beta{^\prime}$, и $\pi$ - $\gamma{^\prime}$ > $\beta{^\prime}$ --острые, то в силу возрастания тангенса tg($\pi$ - $\gamma{^\prime}$) > tg$\beta{^\prime}$, а это, учитывая тождество tg($\pi$ - $\gamma{^\prime}$) = - tg$\gamma{^\prime}$, равносильно неравенству

tg$\gamma{^\prime}$ + tg$\beta{^\prime}$ < 0. Следовательно, <!-- MATH \begin{displaymath} {\rm tg }\alpha +{\rm tg }\beta +{\rm tg }\gamma >{\rm tg }\alpha >{\rm tg }\alpha '

{\rm tg }\alpha ' + {\rm tg }\beta '+{\rm tg }\gamma '. \end{displaymath} -->

tg$\displaystyle \alpha$ + tg$\displaystyle \beta$ + tg$\displaystyle \gamma$ > tg$\displaystyle \alpha$ > tg$\displaystyle \alpha{^\prime}$ > tg$\displaystyle \alpha{^\prime}$ + tg$\displaystyle \beta{^\prime}$ + tg$\displaystyle \gamma{^\prime}$.

Таким образом, сумма тангенсов углов в остроугольном треугольнике всегда больше, чем в тупоугольном. Следовательно, двух треугольников, указанных в условии задачи, не существует.

Ответ

Нет, не может.

Олимпиадная задача: равенство суммы тангенсов углов в двух треугольниках

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления