Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» для 8 класса - сложность 3 с решениями

В угол <i>A</i>, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке <i>M</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>Р</i> и <i>Q</i> соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство <i>S_PAQ < S_BMC</i>?

На плоскости дан квадрат<i> ABCD </i>. Найдите минимум частного<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115718/problem_115718_img_2.gif"> </i>, где<i> O </i>— произвольная точка плоскости.

Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).

Чему равен периметр внутреннего пятиугольника <i>ABCDE</i>, если длина исходной ломаной равна 1? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115687/problem_115687_img_2.gif"></div>

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Все вершины треугольника<i> ABC </i>лежат внутри квадрата<i> K </i>. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри<i> K </i>.

На плоскости даны точки<i> A </i>и<i> B </i>. Доказать, что множество всех точек<i> M </i>, удалённых от<i> A </i>в 3 раза больше, чем от<i> B </i>, есть окружность.

Найдите расстояние от точки<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y</i>0<i>;z</i>0)до плоскости<i> Ax+By+Cz+D=</i>0.

На рёбрах<i> AA</i>1,<i> AB </i>,<i> B</i>1<i>C</i>1и<i> BC </i>единичного куба<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1взяты точки<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно, причём<i> AL=<img src="/storage/problem-media/108865/problem_108865_img_2.gif"> </i>,<i> B</i>1<i>M = <img src="/storage/problem-media/108865/problem_108865_img_3.gif"> </i>,<i> CN = <img src="/storage/problem-media/108865/problem_108865_img_4.gif"> </i>. Определите, какое из рёбер<i> AB </i>или<i> AD </i>пересекает плоскость, парал...

На рёбрах<i> A</i>1<i>B</i>1,<i> AB </i>,<i> A</i>1<i>D</i>1и<i> DD</i>1единичного куба<i> ABCDA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1<i>D</i>1взяты точки<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>и<i> N </i>соответственно, причём<i> A</i>1<i>K = <img src="/storage/problem-media/108864/problem_108864_img_2.gif"> </i>,<i> AL = <img src="/storage/problem-media/108864/problem_108864_img_3.gif"> </i>,<i> A</i>1<i>M = <img src="/storage/problem-media/108864/problem_108864_img_4.gif"> </i>. Определите, какое из рёбер<i> A</i>1<i>D&l...

Площади проекций некоторого треугольника на координатные плоскости<i> Oxy </i>и<i> Oyz </i>равны соответственно<i> <img src="/storage/problem-media/108863/problem_108863_img_2.gif"> </i>и<i> <img src="/storage/problem-media/108863/problem_108863_img_3.gif"> </i>, а площадь проекции на плоскость<i> Oxz </i>– целое число. Найдите площадь самого треугольника, если известно, что она также является целым числом.

Основанием пирамиды<i> HPQR </i>является равнобедренный прямоугольный треугольник<i> PQR </i>, гипотенуза<i> PQ </i>которого равна2<i><img src="/storage/problem-media/108862/problem_108862_img_2.gif"> </i>. Боковое ребро пирамиды<i> HR </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку<i> H </i>и середину ребра<i> PR </i>, а другая проходит через точку<i> R </i>и середину ребра<i> PQ </i>.

Основанием пирамиды<i> HPQR </i>является равносторонний треугольник<i> PQR </i>, сторона которого равна2<i><img src="/storage/problem-media/108861/problem_108861_img_2.gif"> </i>. Боковое ребро<i> HR </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку<i> H </i>и середину ребра<i> QR </i>, а другая проходит через точку<i> R </i>и середину ребра<i> PQ </i>.

Основанием пирамиды<i> SABC </i>является равнобедренный прямоугольный треугольник<i> ABC </i>, гипотенуза<i> AB </i>которого равна4<i><img src="/storage/problem-media/108860/problem_108860_img_2.gif"> </i>. Боковое ребро пирамиды<i> SC </i>перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку<i> S </i>и середину ребра<i> AC </i>, а другая проходит через точку<i> C </i>и середину ребра<i> AB </i>.

Докажите, что расстояние от точки <!-- MATH $M(x_{0};y_{0})$ --> <i>M</i>(<i>x</i>₀;<i>y</i>₀) до прямой, заданной уравнением <!-- MATH $ax + by + c = 0$ --> <i>ax</i> + <i>by</i> + <i>c</i> = 0, равно <!-- MATH \begin{displaymath} \frac{|ax_{0}+ by_{0}+ c|}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}. \end{displaymath} --> <div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{\vert ax_{0}+ by_{0}+ c\vert}{\sqrt{a^{2}+ b^{2}}}}$. </div>

Докажите, что любая прямая в декартовых координатах <i>xOy</i> имеет уравнение вида <!-- MATH $ax + by + c = 0$ --> <i>ax</i> + <i>by</i> + <i>c</i> = 0. где <i>a</i>, <i>b</i>, <i>c</i> — некоторые числа, причём хотя бы одно из чисел <i>a</i>, <i>b</i> отлично от нуля.

В трапеции <i>ABCD  AB</i> – основание,  <i>AC = BC</i>,  <i>H</i> – середина <i>AB</i>. Пусть <i>l</i> – прямая, проходящая через точку <i>H</i> и пересекающая прямые <i>AD</i> и <i>BD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что либо углы <i>ACP</i> и <i>QCB</i> равны, либо их сумма равна 180°.

Площадь треугольника равна 6$\sqrt{6}$, периметр его равен 18, расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин равно <!-- MATH $\frac{2\sqrt{42}}{3}$ --> ${\frac{2\sqrt{42}}{3}}$. Найдите наименьшую сторону треугольника.

На доске написано несколько целых положительных чисел: <i>a</i>₀, <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ... , <i>a_n</i>. Пишем на другой доске следующие числа: <i>b</i>₀ – сколько всего чисел на первой доске, <i>b</i>₁ – сколько там чисел, больших единицы, <i>b</i>₂ – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа <i>c</i>₀, <i>c</i>₁, <i>c</i>₂, ... , построенные по ч...

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Дан угол с вершиной <i>O</i> и внутри него точка <i>A</i>. Рассмотрим такие точки <i>M, N</i> на разных сторонах данного угла, что углы <i>MAO</i> и <i>OAN</i> равны.

Докажите, что все прямые <i>MN</i> проходят через одну точку (или параллельны).

Сколько существует таких пар натуральных чисел  (<i>m, n</i>),  каждое из которых не превышает 1000, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98049/problem_98049_img_2.gif">

Даны точки<i> A</i>(2<i>;-</i>1<i>;</i>0),<i> B</i>(3<i>;</i>2<i>;</i>1),<i> C</i>(1<i>;</i>2<i>;</i>2)и<i> D</i>(<i>-</i>3<i>;</i>0<i>;</i>4). Найдите расстояние между прямыми<i> AB </i>и<i> CD </i>.