Олимпиадная задача: точки MN и угол с точкой A, планиметрия, 8-9 класс

Олимпиадная задача по планиметрии: прямые MN для точки A внутри угла (8-9 класс)

Задача

Дан угол с вершиной O и внутри него точка A. Рассмотрим такие точки M, N на разных сторонах данного угла, что углы MAO и OAN равны.

Докажите, что все прямые MN проходят через одну точку (или параллельны).

Решение

Если точка A лежит на биссектрисе данного угла, то все прямые перпендикулярны к OA. В противном случае перпендикуляр к OA, восстановленный из A, пересекает MN в точке R. Пусть он также пересекает стороны угла в точках P и Q (M, N лежат на лучах OP, OQ соответственно). Первый способ. Применив теорему Менелая (см. задачу 153857) к треугольнику OPQ и прямой MN, получим Отсюда следовательно, точка R для всех прямых MN одна и та же. Второй способ. Рассмотрим случай, когда ∠MOA < ∠NOA. Пусть точки N' и Q' симметричны N и Q относительно прямой OA, а прямая NN' пересекает OM в точке T. Тогда M – точка пересечения диагоналей трапеции ARN'N. Следовательно, PA : PR = TN' : TN = PQ' : PQ, т.е. точка R для всех прямых MN одна и та же.