Олимпиадная задача Фомина: пары натуральных чисел с условием для дробей

Рассмотрим все пары  (m, n)  натуральных чисел, для которых  m + n + 1 = s ≥ 3.  Имеем     Поскольку  s > 2 > > ½ > ¹/_s,  а число иррационально, оно попадает ровно в один из указанных интервалов. Таким образом, среди пар  (m, n)  с фиксированным значением s найдётся ровно одна, для которой выполняются указанные в условии неравенства. При этом точка пересечения    прямых  y = x  и  y + x = s  попадает в квадрат с вершинами  (m, n),  (m + 1, n),  (m, n + 1),  (m + 1, n + 1).  Нас интересуют пары  (m, n),  у которых оба числа не превосходят 1000, то есть должны выполняться неравенства     Отсюда     Всего таких значений s, а значит, и пар 1706.

1706 пар.