Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» для 8 класса - сложность 1-3 с решениями

В четырёхугольнике<i> ABCD </i>найдите такую точку<i> E </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> EAB </i>и<i> ECD </i>было равно 1:2, а треугольников<i> EAD </i>и<i> EBC </i>— 3:4, если известны координаты всех его вершин:<i> A</i>(<i>-</i>2<i>;-</i>4),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>3),<i> C</i>(4<i>;</i>6),<i> D</i>(4<i>;-</i>1).

В четырёхугольнике<i> PQRS </i>найдите такую точку<i> T </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> RQT </i>и<i> PST </i>было равно 2:1, а треугольников<i> SRT </i>и<i> PQT </i>— 1:5, если известны координаты всех его вершин:<i> P</i>(6<i>;-</i>2),<i> Q</i>(3<i>;</i>4),<i> R</i>(<i>-</i>3<i>;</i>4),<i> S</i>(0<i>;-</i>2).

Через начало координат проведены прямые (включая оси координат), которые делят координатную плоскость на углы в 1°.

Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих прямых с прямой  <i>y</i> = 100 – <i>x</i>.

Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.

В угол <i>A</i>, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке <i>M</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>Р</i> и <i>Q</i> соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство <i>S_PAQ < S_BMC</i>?

На плоскости дан квадрат<i> ABCD </i>. Найдите минимум частного<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115718/problem_115718_img_2.gif"> </i>, где<i> O </i>— произвольная точка плоскости.

Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).

Чему равен периметр внутреннего пятиугольника <i>ABCDE</i>, если длина исходной ломаной равна 1? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115687/problem_115687_img_2.gif"></div>

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂. Найдите площадь третьего.

Два правильных многоугольника с периметрами <i>a</i> и <i>b</i> описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр третьего многоугольника.

Вася постоял некоторое время на остановке. За это время проехал один автобус и два трамвая. Через некоторое время на эту же остановку пришёл Шпион. Пока он там сидел, проехало 10 автобусов. Какое минимальное число трамваев могло проехать за это время? И автобусы, и трамваи ходят с равными интервалами, причём автобусы ходят с интервалом 1 час.

На плоскости даны точки<i> A</i>(<i>-</i>1<i>;</i>2),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>1),<i> C</i>(<i>-</i>3<i>;-</i>3),<i> D</i>(0<i>;</i>0). Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ<i> AC </i>?

На плоскости даны точки<i> A</i>(1<i>;</i>2),<i> B</i>(2<i>;</i>1),<i> C</i>(3<i>;-</i>3),<i> D</i>(0<i>;</i>0). Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ<i> AC </i>?

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Все вершины треугольника<i> ABC </i>лежат внутри квадрата<i> K </i>. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри<i> K </i>.

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

На плоскости даны точки<i> A </i>и<i> B </i>. Доказать, что множество всех точек<i> M </i>, удалённых от<i> A </i>в 3 раза больше, чем от<i> B </i>, есть окружность.

Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.

Две плоскости заданы уравнениями<i> A</i>1<i>x+B</i>1<i>y+C</i>1<i>z+D</i>1<i>=</i>0и<i> A</i>2<i>x+B</i>2<i>y+C</i>2<i>z+D</i>2<i>=</i>0. Пусть<i> α </i>– величина нетупого угла, образованного плоскостями. Докажите, что <center><i>

cos α =<img src="/storage/problem-media/108870/problem_108870_img_2.gif">.

</i></center>

Плоскость задана уравнением<i> Ax+By+Cz+D=</i>0, причём числа<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>и<i> D </i>отличны от нуля. Докажите, что тогда уравнение плоскости можно записать в виде<i> <img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_4.gif">=</i>1, где<i> P</i>(0<i>;</i>0<i>;p</i>),<i> Q</i>(0<i>;q;</i>0)и<i> R</i>(0<i>;</i>0<i>;r</i>)– точки пересечения плоскости с координатными осями.

Найдите расстояние от точки<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y</i>0<i>;z</i>0)до плоскости<i> Ax+By+Cz+D=</i>0.

Прямая<i> l </i>проходит через точку<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y_o;z</i>0)параллельно ненулевому вектору<i> <img src="/storage/problem-media/108867/problem_108867_img_2.gif"> = </i>(<i>a;b;c</i>). Найдите необходимое и достаточное условие того, что точка<i> M</i>(<i>x;y;z</i>)лежит на прямой<i> l </i>.

Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку<i> M</i>0(<i>x</i>0<i>;y</i>0<i>;z</i>0)перпендикулярно ненулевому вектору<i> <img src="/storage/problem-media/108866/problem_108866_img_2.gif"> = </i>(<i>a;b;c</i>).