Олимпиадные задачи по теме «Геометрические методы» для 3-8 класса

В четырёхугольнике<i> ABCD </i>найдите такую точку<i> E </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> EAB </i>и<i> ECD </i>было равно 1:2, а треугольников<i> EAD </i>и<i> EBC </i>— 3:4, если известны координаты всех его вершин:<i> A</i>(<i>-</i>2<i>;-</i>4),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>3),<i> C</i>(4<i>;</i>6),<i> D</i>(4<i>;-</i>1).

В четырёхугольнике<i> PQRS </i>найдите такую точку<i> T </i>, для которой отношение площадей треугольников<i> RQT </i>и<i> PST </i>было равно 2:1, а треугольников<i> SRT </i>и<i> PQT </i>— 1:5, если известны координаты всех его вершин:<i> P</i>(6<i>;-</i>2),<i> Q</i>(3<i>;</i>4),<i> R</i>(<i>-</i>3<i>;</i>4),<i> S</i>(0<i>;-</i>2).

Через начало координат проведены прямые (включая оси координат), которые делят координатную плоскость на углы в 1°.

Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих прямых с прямой  <i>y</i> = 100 – <i>x</i>.

Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.

Дан четырёхугольник <i>ABCD</i>, противоположные стороны которого пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Две прямые, проходящие через эти точки, пересекают стороны четырёхугольника в четырёх точках, являющихся вершинами параллелограмма. Докажите, что центр этого параллелограмма лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей <i>ABCD</i>.

В угол <i>A</i>, равный α, вписана окружность, касающаяся его сторон в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, касающаяся окружности в некоторой точке <i>M</i>, пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>Р</i> и <i>Q</i> соответственно. При каких α может быть выполнено неравенство <i>S_PAQ < S_BMC</i>?

На плоскости дан квадрат<i> ABCD </i>. Найдите минимум частного<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115718/problem_115718_img_2.gif"> </i>, где<i> O </i>— произвольная точка плоскости.

Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).

Чему равен периметр внутреннего пятиугольника <i>ABCDE</i>, если длина исходной ломаной равна 1? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115687/problem_115687_img_2.gif"></div>

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.

  а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?

  б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?

  в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

Укажите все выпуклые четырёхугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.

В окружность вписаны три правильных многоугольника, число сторон каждого последующего вдвое больше, чем у предыдущего. Площади первых двух равны <i>S</i>₁ и <i>S</i>₂. Найдите площадь третьего.

Два правильных многоугольника с периметрами <i>a</i> и <i>b</i> описаны около окружности, а третий правильный многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий многоугольники имеют вдвое больше сторон, чем первый. Найдите периметр третьего многоугольника.

Вася постоял некоторое время на остановке. За это время проехал один автобус и два трамвая. Через некоторое время на эту же остановку пришёл Шпион. Пока он там сидел, проехало 10 автобусов. Какое минимальное число трамваев могло проехать за это время? И автобусы, и трамваи ходят с равными интервалами, причём автобусы ходят с интервалом 1 час.

На плоскости даны точки<i> A</i>(<i>-</i>1<i>;</i>2),<i> B</i>(<i>-</i>2<i>;</i>1),<i> C</i>(<i>-</i>3<i>;-</i>3),<i> D</i>(0<i>;</i>0). Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ<i> AC </i>?

На плоскости даны точки<i> A</i>(1<i>;</i>2),<i> B</i>(2<i>;</i>1),<i> C</i>(3<i>;-</i>3),<i> D</i>(0<i>;</i>0). Они являются вершинами выпуклого четырёхугольника<i> ABCD </i>. В каком отношении точка пересечения его диагоналей делит диагональ<i> AC </i>?

Ножки циркуля находятся в узлах бесконечного листа клетчатой бумаги, клетки которого – квадраты со стороной 1. Разрешается, не меняя раствора циркуля, поворотом его вокруг одной из ножек перемещать вторую ножку в другой узел на листе. Можно ли за несколько таких шагов поменять ножки циркуля местами?

Все вершины треугольника<i> ABC </i>лежат внутри квадрата<i> K </i>. Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника<i> ABC </i>, то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри<i> K </i>.

В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все50<i>· </i>70вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

На шахматной доске стоят восемь ладей, не бьющих друг друга. Докажите, что среди попарных расстояний между ними найдутся два одинаковых. (Расстояние между ладьями – это расстояние между центрами клеток, в которых они стоят.)

На плоскости даны точки<i> A </i>и<i> B </i>. Доказать, что множество всех точек<i> M </i>, удалённых от<i> A </i>в 3 раза больше, чем от<i> B </i>, есть окружность.

Найдите угол между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.

Две плоскости заданы уравнениями<i> A</i>1<i>x+B</i>1<i>y+C</i>1<i>z+D</i>1<i>=</i>0и<i> A</i>2<i>x+B</i>2<i>y+C</i>2<i>z+D</i>2<i>=</i>0. Пусть<i> α </i>– величина нетупого угла, образованного плоскостями. Докажите, что <center><i>

cos α =<img src="/storage/problem-media/108870/problem_108870_img_2.gif">.

</i></center>

Плоскость задана уравнением<i> Ax+By+Cz+D=</i>0, причём числа<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>и<i> D </i>отличны от нуля. Докажите, что тогда уравнение плоскости можно записать в виде<i> <img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/108869/problem_108869_img_4.gif">=</i>1, где<i> P</i>(0<i>;</i>0<i>;p</i>),<i> Q</i>(0<i>;q;</i>0)и<i> R</i>(0<i>;</i>0<i>;r</i>)– точки пересечения плоскости с координатными осями.