Олимпиадные задачи по теме «Математический анализ» для 9 класса - сложность 4-5 с решениями
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Окружности<i> σ <sub>1</sub> </i>и<i> σ <sub>2</sub> </i>пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. В точке<i> A </i>к<i> σ <sub>1</sub> </i>и<i> σ <sub>2</sub> </i>проведены соответственно касательные<i> l<sub>1</sub> </i>и<i> l<sub>2</sub> </i>. Точки<i> T<sub>1</sub> </i>и<i> T<sub>2</sub> </i>выбраны соответственно на окружностях<i> σ <sub>1</sub> </i>и<i> σ <sub>2</sub> </i>так, что угловые меры дуг<i> T<sub>1</sub>A </i>и<i> AT<sub>2</sub> </i>равны (величина дуги...
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
Пусть<i> M={x<sub>1</sub>, .., x</i>30<i>} </i>– множество, состоящее из 30 различных положительных чисел;<i> A<sub>n</sub> </i>(1<i><img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> n<img src="/storage/problem-media/109798/problem_109798_img_2.gif"> </i>30) – сумма всевозможных произведений различных<i> n </i>элементов множества<i> M </i>. Докажите, что если<i> A</i>15<i>>A</i>10, то<i> A<sub>1</sub>></i>1.
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого <i>k</i> = 1, 2, 3, ... сумма первых <i>k</i> членов последовательности делится на <i>k</i>?
Решите уравнение<i> cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) </i>.
Докажите, что для любого натурального числа <i>a</i><sub>1</sub> > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ...,
что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109599/problem_109599_img_2.gif"> делится на <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>k</sub></i> при всех <i>k</i> ≥ 1.
На плоскости отмечены две точки на расстоянии 1. Разрешается, измерив циркулем расстояние между двумя отмеченными точками, провести окружность с центром в любой отмеченной точке с измеренным радиусом. Линейкой разрешается провести прямую через любые две отмеченные точки. При этом отмечаются новые точки – точки пересечения построенных линий. Пусть Ц(<i>n</i>) – наименьшее число линий, проведение которых одним циркулем позволяет получить две отмеченные точки на расстоянии <i>n</i> (<i>n </i> – натуральное). ЛЦ(<i>n</i>) – то же, но циркулем и линейкой. Докажите, что последовательность <img align="middle" src="/storage/problem-media/109598/problem_109598_img_2.gif"> неограничена.
Положительные числа <i>х</i><sub>1</sub>, ..., <i>х<sub>k</sub></i> удовлетворяют неравенствам <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109199/problem_109199_img_2.gif">
а) Докажите, что <i>k</i> > 50.
б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь <i>k</i>.
в) Найти минимальное <i>k</i>, для которого пример возможен.
Для каждой пары действительных чисел<i>a</i>и<i>b</i>рассмотрим последовательность чисел<i>p</i><sub>n</sub>= [2{<i>an</i>+<i>b</i>}]. Любые<i>k</i>подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины<i>k</i>будет словом последовательности, заданной некоторыми<i>a</i>и<i>b</i>при<i>k</i>= 4; при<i>k</i>= 5? Примечание: [<i>c</i>] - целая часть, {<i>c</i>} - дробная часть числа <i>c</i>.
Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по <i>n</i> коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., <i>n</i> у. е. соответственно. Требуется купить такие <i>k</i> из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее <i><sup>k</sup>/<sub>n</sub></i> массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.
а) Какие коробки следует купить при <i>n</i> = 10 и <i>k</i> = 3 ?
б) Тот же вопрос для произвольных натуральных <i>n ≥ k</i>.
У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
Из имеющихся последовательностей {<i>b<sub>n</sub></i>} и {<i>c<sub>n</sub></i>} (возможно, {<i>b<sub>n</sub></i>} совпадает с {<i>c<sub>n</sub></i>}) разрешается получать последовательности {<i>b<sub>n</sub> + c<sub>n</sub></i>},
{<i>b<sub>n</sub> – c<sub>n</sub></i>}, {<i>b<sub>n</sub>c<sub>n</sub></i>} и {<sup><i>b<sub>n</sub></i></sup>/<sub><i>c<sub>n</sub></i></sub>} (если все члены последовательности {<i>c<sub>n</sub></i>} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последователь...
Дана функция <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98421/problem_98421_img_2.gif"> , где трёхчлены <i>x</i>² + <i>ax + b</i> и <i>x</i>² + <i>cx + d</i> не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
2) <i>f</i>(<i>x</i>) представима в виде: <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>f</i><sub>1</sub>(<i>f</i><sub>2</sub>(...<i>f</i><sub><i>n</i>–1</sub>(<i>f<sub>n</sub></i>(<i>x</i>))...)), где каждая из функций <i>f<sub>i</sub>...
Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", <i>k</i>-е слово получается из (<i>k</i>–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...
а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?
б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
Две прямые на плоскости пересекаются под углом$\alpha$. На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол$\alpha$измеряется рациональным числом градусов.
Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).
а) На плоскости даны<i>n</i>векторов, длина каждого из которых<nobr>равна 1.</nobr>Сумма всех<i>n</i>векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех<nobr><i>k</i> = 1,</nobr>2, ...,<i>n</i>выполнялось следующее условие: длина суммы первых<nobr><i>k</i> векторов</nobr>не<nobr>превышает 3.</nobr>б) Докажите аналогичное утверждение для <i>n</i> векторов с <nobr>суммой 0,</nobr> длина каждого из которых не <nobr>превосходит 1.</nobr> в) Можно ли заменить <nobr>число 3</nobr> в <nobr>пункте а)</nobr> меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в <nobr>пункте б).</nobr>
Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111<nobr>(100 единиц)</nobr>с точностью до<nobr>а) 100;</nobr><nobr>б) 101;</nobr><nobr>в)* 200</nobr>знаков после запятой.
а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных <i>n</i>-угольников верно аналогичное утверждение?
Дан квадрат со<nobr>стороной 1.</nobr>От него отсекают четыре<nobr>уголка —</nobr>четыре треугольника, у каждого из которых две стороны идут по сторонам квадрата и составляют 1/3 их длины. С полученным 8-угольником делают то же самое: от каждой вершины отрезают треугольник, две стороны которого составляют по 1/3 соответствующих сторон 8-угольника, и так далее. Получается последовательность многоугольников (каждый содержится в предыдущем). Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением всех этих многоугольников (то есть образованной точками, принадлежащими всем многоугольникам).
Для каждого непрямоугольного треугольника <i>T</i> обозначим через <i>T</i><sub>1</sub> треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i>; через <i>T</i><sub>2</sub> – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника <i>T</i><sub>1</sub>; аналогично определим треугольники <i>T</i><sub>3</sub>, <i>T</i><sub>4</sub> и так далее. Каким должен быть треугольник <i>T</i>, чтобы
а) треугольник <i>T</i><sub>1</sub> был остроугольным?
б) в последовательности <i>T</i><sub>1</sub>, <i>T</i><sub>2</sub>, <i>T</i>...
<i>m</i> и <i>n</i> – натуральные числа, <i>m</i> < <i>n</i>. Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73673/problem_73673_img_2.gif">