Олимпиадная задача Канель-Белова: условие равносильности для многочленов и функций

  Договоримся называть функцию, удовлетворяющую условию 1, дырявой, а условию 2 – представимой.

  Мы будем рассматривать функции, определённые на всей числовой прямой, за исключением, быть может, конечного числа точек. Равенство функций мы будем понимать так, как это подразумевается в условии задачи, то есть равенство на общей области определения. Отметим, что замена функции на равную ей (в этом смысле) может изменить область значений только на конечное число точек, в частности, не может сделать дырявую функцию не дырявой, и наоборот.

  Заметим, что данная нам функция не является дробно-линейной, так как равенство     означало бы, что числитель и знаменатель левой части имеют общий множитель, после сокращения на который получается правая часть.   Лемма. Пусть h(x) – дробно-линейная функция, g(x) – произвольная функция.

  а) Функции  g(x), g(h(x))  и  h(g(x))  либо все представимы, либо все не представимы.

  б) Функции  g(x), g(h(x))  и  h(g(x))  либо все дырявы, либо все не дырявы.

  Доказательство. а) Очевидно, поскольку функция, обратная к дробно-линейной, является дробно-линейной.

  б) Пусть g(x) не принимает значений в интервале I. Тогда  g(h(x))  тем более не принимает значений в этом интервале. С другой стороны, в интервале I найдётся интервал J, целиком входящий в область определения функции h(x). В силу монотонности h(J) – тоже интервал, и функция  h(g(x))  не принимает на нём значений в силу взаимной однозначности. Остальное следует из равенств  g(x) = g(h(h^–1(x))) = h^–1(h(g(x)))  и свойств дробно-рациональной функции.   Итак, композиция с дробно-линейной функцией сохраняет дырявость и представимость. Это позволяет нам доказывать нужное свойство не для исходной функции, а для функции, упрощенной композициями с дробно-линейными функциями.   1) Докажем, что представимая функция дырява. Пусть функция     представима в указанном в условии виде

f₁(f₂(...f_n–1(f_n(x))...))  и k – наименьший номер, при котором  f_k(x) = x²  (такая есть, иначе функция  f(x) была бы дробно-линейной).

  Тогда функция  g(x) = f_k(f_k+1(...(f_n(x))...) = (f_k+1(...(f_n(x))...)²  дырява, так как не принимает отрицательных значений. С другой стороны,

h(x) = f₁(f₂(...f_k–1((x))...))  является дробно-линейной функцией (как композиция дробно-линейных). Поэтому и  f(x) = h(g(x))  – дырявая функция.

  2) Теперь докажем, что дырявая функция представима. Пусть имеется интервал, не содержащий значений функции  f(x).

  Постараемся композициями c дробно линейными функциями максимально упростить вид функции f(x).

  Вычтем из  f(x) единицу и обратим дробь. Получится функция вида     Если  p = 0,  то мы после умножения на q получаем функцию, представляющуюся в нужном виде:  x² + cx + d = (x + ^с/₂)² + d – ^c²/₄.

  Если же  p ≠ 0,  то делаем линейную замену переменных  z = px + q  и получаем функцию вида     Вычтя B и разделив на A, получим окончательно функцию вида  x + ^D/_x  (мы заменили z снова на x).

  Заметим, что  D ≠ 0  (в противном случае исходная функция  f(x) была бы дробно-линейной). Кроме того, D не может быть отрицательным. Действительно, уравнение  x + ^D/_x = t  приводится к виду  x² – tx + D  и при  D < 0  имеет решение при любом t, что противоречит наличию интервала, свободного от значений функции  f(x).

  Таким образом,  D = s²,  где s – некоторое положительное число.

  Осталось заметить, что     то есть эта "упрощённая" функция представима.

Ответ задачи отсутствует