Олимпиадная задача по планиметрии и комбинаторной геометрии для 9–11 классов: целочисленные координаты точек

Первое решение. Рассмотрим любые 3 точки A , B и C , не лежащие на одной прямой (если все точки будут лежать на одной прямой, то утверждение задачи очевидно). Пусть T1– система координат, в которой эти точки имеют целые координаты.

Рассмотрим любую из оставшихся точек, назовем ее D . Пусть T2– система координат, в которой точки B , C , D имеют целые координаты. Поскольку квадрат длины отрезка BC в T1и T2будет целым, то отношение квадратов единиц измерения T1и T2– рациональное число. Но скалярное произведение векторов(,)в T2– целое, значит, в T1оно рационально, поскольку произведение длин этих векторов в T1будет рационально относиться к произведению их длин в T2, а косинус угла не изменится.

Аналогично,(,)рационально. Пусть в T1– это(x,y), – это(z,t), – это(p,q). Тогда px+qy=m и pz+qt=n – рациональны, откуда p= , q= – рациональные числа (поскольку xt-yz0, так как A , B , C не лежали на одной прямой). Следовательно, точка D в T1имеет рациональные координаты. Тогда, выбрав другую единицу измерения, можно координаты всех точек сделать целыми.

Второе решение. Как и в первом решении, можно считать, что в нашем множестве найдутся точки A , B , C , не лежащие на одной прямой. Докажем, что tg BAC – либо рациональное число, либо не существует.

Рассмотрим координаты этих точек в системе, соответствующей тройке A , B , C . Если x_A=x_B (случай x_A=x_C аналогичен), то tg BAC= рационален (или не существует). Если же x_B x_A и x_C x_A , то числа p= и q= рациональны.

Но p= tgα , q= tgβ , где α и β – углы, образуемые лучами AB и AC с положительным направлением оси Ox , поэтому из формулы tg CAB= tg(β-α)= следует рациональность tg BAC (или тангенс не существует, если pq=-1). Аналогично, рациональными являются тангенсы углов всех треугольников с вершинами в данных точках.

Рассмотрим систему координат с центром A и единичным вектором по оси Ax , равным . Для любой точки D нашего множества tg DAB и tg DBA рациональны, поэтому уравнения прямых AD и BD имеют рациональные коэффициенты. Тогда и точка D имеет рациональные координаты. Изменив масштаб, мы получим целочисленные координаты у всех точек.

Ответ задачи отсутствует