Задача
Две прямые на плоскости пересекаются под углом$\alpha$. На одной из них сидит блоха. Каждую секунду она прыгает с одной прямой на другую (точка пересечения считается принадлежащей обеим прямым). Известно, что длина каждого её прыжка равна 1 и что она никогда не возвращается на то место, где была секунду назад. Через некоторое время блоха вернулась в первоначальную точку. Докажите, что угол$\alpha$измеряется рациональным числом градусов.
Решение
Для каждого вектора прыжка имеется ровно два положения блохи, для которых прыжок задаётся этим вектором. Поэтому последовательность прыжков периодична тогда и только тогда, когда имеется лишь конечное число различных векторов прыжков.
Пусть $\vec{a}{1}$— вектор прыжка блохи с прямой l2на прямую l1;$\vec{a}{2}$, $\vec{a}{3}$, $\vec{a}{4}$, ... — векторы последующих прыжков. Тогда$\vec{a}{2}$=Sl2($\vec{a}{1}$),$\vec{a}{3}$=Sl1($\vec{a}{2}$),$\vec{a}{4}$=Sl2($\vec{a}{3}$), ... Так как композицияSl1oSl2является поворотом на угол 2$\alpha$(или на угол2$\pi$- 2$\alpha$), векторы $\vec{a}{3}$,$\vec{a}{5}$,$\vec{a}{7}$, ... получаются из вектора $\vec{a}{1}$поворотами на 2$\alpha$, 4$\alpha$,6$\alpha$, ... (или на2($\pi$-$\alpha$),4($\pi$-$\alpha$),6($\pi$-$\alpha$), ...). Поэтому набор $\vec{a}{1}$,$\vec{a}{3}$,$\vec{a}{5}$, ... содержит конечное число различных векторов тогда и только тогда, когда $\alpha$/$\pi$-- рациональное число. Набор $\vec{a}{2}$,$\vec{a}{4}$,$\vec{a}{6}$, ... рассматривается аналогично.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь