Олимпиадные задачи по теме «Стереометрия» для 11 класса - сложность 4 с решениями

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

Боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i> являются соответственно хордами окружностей ω₁ и ω₂, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг <i>AB</i> и <i>CD</i> равны α и β. Окружности ω₃ и ω₄ также имеют хорды <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Их дуги <i>AB</i> и <i>CD</i>, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω₃ и ω₄ тоже касаются.

По рёбрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук всё время остаётся только в одной грани (в каждой грани – свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определённом направлении, причём так, что каждые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных направлениях. Докажите, что если скорости (возможно, непостоянные) каждого из жуков всегда больше 1 см/с, то когда-нибудь какие-то два жука обязательно встретятся.

Рассматриваются ортогональные проекции данного правильного тетраэдра с единичным ребром на всевозможные плоскости. Какое наибольшее значение может принимать радиус круга, содержащегося в такой проекции?

Oснованием пирамиды служит выпуклый четырехугольник. Oбязательно ли существует сечение этой пирамиды, не пересекающее основание и являющееся вписанным четырехугольником?

Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся три ребра, из которых можно составить треугольник.

Функция  <i>f</i> каждому вектору <i><b>v</b></i> (с общим началом в точке <i>O</i>) пространства ставит в соответствие число  <i>f</i>(<i><b>v</b></i>), причём для любых векторов <i><b>u</b>, <b>v</b></i> и любых чисел α, β значение  <i>f</i>(α<i><b>u</b></i> + β<i><b>v</b></i>)  не превосходит хотя бы одного из чисел  <i>f</i>(<i><b>u</b></i>) или  <i>f</i>(<i><b>v</b></i>). Какое наибольшее количество значений может принимать такая функция?

В треугольной пирамиде <i> ABCD </i>все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках <i> ABC </i>,<i> ABD </i>,<i> ACD </i>лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер <i> AB </i>,<i> AC </i>,<i> AD </i>.

У выпуклого многогранника одна вершина <i>A</i> имеет степень 5, а все остальные – степень 3. Назовём раскраску рёбер многогранника в синий, красный и лиловый цвета <i>хорошей</i>, если для каждой вершины степени 3 все выходящие из нее ребра покрашены в разные цвета. Оказалось, что количество хороших раскрасок не делится на 5. Докажите, что в одной из хороших раскрасок какие-то три последовательных ребра, выходящие из <i> A </i>, покрашены в один цвет.

Найдите объём общей части двух прямых круговых цилиндров радиуса<i> a </i>, пересекающихся под прямым углом (т.е. их оси пересекаются под прямым углом).

Дана сфера радиуса 2 с центром в точке<i> O </i>. Из точки<i> K </i>, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках<i> L</i>1И<i> M</i>1, второй – в точках<i> L</i>2и<i> M</i>2, третий – в точках<i> L</i>3и<i> M</i>3, четвёртый – в точках<i> L</i>4и<i> M</i>4. Прямые<i> L</i>1<i>L</i>2и<i> M</i>1<i>M</i>2пересекаются в точке<i> A </i>, прямые<i> L</i>3<i>L</i>4и<i> M</i>3<i>M</i>4– в точке<i> B </i>. Найдите объём пирамиды<i> KOAB </i>, если<i> KO=</i>3,<i> AO=BO=...

Дана сфера радиуса 1 с центром в точке<i> O </i>. Из точки<i> A </i>, лежащей вне сферы, проведены четыре луча. Первый луч пересекает поверхность сферы последовательно в точках<i> B</i>1и<i> C</i>1, второй – в точках<i> B</i>2и<i> C</i>2, третий – в точках<i> B</i>3и<i> C</i>3, четвёртый – в точках<i> B</i>4и<i> C</i>4. Прямые<i> B</i>1<i>B</i>2и<i> C</i>1<i>C</i>2пересекаются в точке<i> E </i>, прямые<i> B</i>3<i>B</i>4и<i> C</i>3<i>C</i>4– в точке<i> F </i>. Найдите объём пирамиды<i> OAEF </i>, если<i> AO=</i>2,<i> EO=FO=...

Каждое ребро выпуклого многогранника параллельно перенесли на некоторый вектор так, что ребра образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он равен исходному?

Вершины прямоугольника лежат на боковой поверхности конуса. Докажите, что две параллельные стороны прямоугольника перпендикулярны оси конуса.

Дана треугольная пирамида<i> ABCD </i>. Сфера<i> S₁ </i>, проходящая через точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>, пересекает ребра<i> AD </i>,<i> BD </i>,<i> CD </i>в точках<i> K </i>,<i> L </i>,<i> M </i>соответственно; сфера<i> S₂ </i>, проходящая через точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> D </i>, пересекает ребра<i> AC </i>,<i> BC </i>,<i> DC </i>в точках<i> P </i>,<i> Q </i>,<i> M </i>соответственно. Оказалось, что<i> KL|| PQ </i>. Докажите, что биссектрисы плоских углов<i> KMQ &lt...

Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.

Куб со стороной<i> n </i>(<i> n<img src="/storage/problem-media/109948/problem_109948_img_2.gif"></i>3) разбит перегородками на единичные кубики. Какое минимальное число перегородок между единичными кубиками нужно удалить, чтобы из каждого кубика можно было добраться до границы куба?

Окружность с центром<i> I </i>, вписанная в грань<i> ABC </i>треугольной пирамиды<i> SABC </i>, касается отрезков<i> AB </i>,<i> BC </i>,<i> CA </i>в точках<i> D </i>,<i> E </i>,<i> F </i>соответственно. На отрезках<i> SA </i>,<i> SB </i>,<i> SC </i>отмечены соответственно точки<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>так, что<i> AA'=AD </i>,<i> BB'=BE </i>,<i> CC'=CF </i>;<i> S' </i>– точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке<i> S </i>. Известно, что<i> SI </i>является высотой пирамиды...

Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов<i> P₁ </i>,<i> P₂ </i>,<i> P</i>12, ребра которых параллельны координатным осям<i> Ox </i>,<i> Oy </i>,<i> Oz </i>так, чтобы<i> P₂ </i>пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме<i> P₁ </i>и<i> P₃ </i>,<i> P₃ </i>пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P₂ </i>и<i> P₄ </i>, и т.д.,<i> P</i>12пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P</i...

Сфера с центром в плоскости основания<i> ABC </i>тетраэдра<i> SABC </i>проходит через вершины<i> A </i>,<i> B </i>и<i> C </i>и вторично пересекает ребра<i> SA </i>,<i> SB </i>и<i> SC </i>в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1соответственно. Плоскости, касающиеся сферы в точках<i> A</i>1,<i> B</i>1и<i> C</i>1, пересекаются в точке<i> O </i>. Докажите, что<i> O </i>– центр сферы, описанной около тетраэдра<i> SA</i>1<i>B</i>1<i>C</i>1.

В тетраэдр<i> ABCD </i>, длины всех ребер которого не более 100, можно поместить две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить одну сферу диаметра 1,01.

Квадрат<i> n</i>×<i>n </i>(<i> n<img src="/storage/problem-media/109646/problem_109646_img_2.gif"> </i>3) склеен в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.

Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.

Куб <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i> сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовём <i>отмёченными</i> грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что рёбра кубиков можно окрасить в два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечётное число, а всякая неотмеченная грань – чётное число сторон каждого цвета.

Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 5  сечение пирамиды, в основании которой лежит правильный <i>n</i>-угольник, не может являться правильным (<i>n</i>+1)-угольником.