Олимпиадная задача по стереометрии: максимум 6 больших граней многогранника, 10–11 класс

Первое решение. Если две большие грани не параллельны, то двугранный угол, содержащий эти грани, не может быть тупым (на рис. 1 приведены проекции сферы и этих двух граней на плоскость, перпендикулярную линии их пересечения, проекции больших граней выделены). Поэтому, если восставить перпендикуляр к каждой большой грани, идущий наружу от многогранника, то угол между любыми двумя такими перпендикулярами ( α на рис. 1) будет неострым.

Предположим, что утверждение задачи неверно и больших граней не менее 7. Тогда мы получаем 7 векторов ₁,..,₇ , углы между которыми не меньше90^o (для параллельных граней такой угол равен180^o ).

Отложим все векторы от одной точки P и проведем плоскость β , проходящую через P и не содержащую ни один из 7 векторов. Тогда по одну сторону от нее будут отложены по крайней мере 4 вектора (например, ₁,..,₄ ). Разложим каждый из них в сумму двух: _i=_i+_i , где _i β , _iβ (см. рис. 2). При этом можно считать, что ₁=₂=₃=₄= , где ||=1. По нашему предположению(_i,_j)0, так как углы между векторами не острые.

           Рис. 1                  Рис. 2 С другой стороны,(_i,_j)=(_i+_i,_j+_j)= (_i,_j)+1, так как(_i,_j)=(_j,_i)=0,(_i,_j)=²=1. Итак, для четырех векторов ₁,..,₄ , лежащих в плоскости β ,(_i,_j)<0, что невозможно, так как угол хотя бы между двумя из них не тупой. Противоречие, значит, наше предположение о наличии у многогранника 7 больших граней неверно. 6 больших граней есть у куба. Второе решение. Пусть R – радиус шара. Сопоставим каждой большой грани часть граничной сферы шара, расположенную в конусе, вершиной которого служит центр шара, а основанием – проекция шара на эту грань. Указанная часть сферы является сферической шапочкой (т.е. частью сферы, лежащей по одну сторону от секущей сферу плоскости) высоты h=R(1-/2). По известной формуле площадь такой шапочки равна2π Rh=π R²(2-). Так как указанные шапочки не перекрываются, сумма их площадей не превосходит площади сферы. Обозначив количество больших граней через n , получим n(2-) 4, т.е. n . Решение заканчивается проверкой того, что <7.

Ответ задачи отсутствует