Олимпиадная задача: Доказательство равенства количества черных клеток в цилиндре, стереометрия 10-11 класс

Докажем утверждение от противного. Пусть есть раскраска, при которой отсутствует пара параллельных линий с одинаковым числом черных клеток. Будем называть весом линии количество черных клеток на ней. Пусть есть горизонталь веса n . Тогда n вертикалей и n диагоналей каждого направления должны иметь веса 1, 2, n , так как все они пересекают эту горизонталь. Тогда и n горизонталей имеют веса 1, 2, n , так как все они пересекают вертикаль веса n . Циклически переставим горизонтали и вертикали так, чтобы нижняя горизонталь и левая вертикаль имели вес n (свойства раскраски при этом не изменятся). Пронумеруем горизонтали снизу вверх от 0 до n-1, а вертикали – от 0 до n-1слева направо. Каждая диагональ пересекает по разу горизонталь и вертикаль веса n ; поэтому диагонали веса 1 должны проходить через клетку их пересечения – клетку(0,0). Итак, все клетки(i,i)и(n-i,i), i>0, не закрашены. Если n нечетно, то в каждом столбце, кроме 0, получаем не менее двух незакрашенных клеток, и столбца веса n-1не найдется. Если n=2m , то столбец m и строка m должны иметь вес n-1(в любой из остальных строк и любом из остальных столбцов есть хотя бы две незакрашенные клетки). Тогда в них закрашены все клетки, кроме(m,m), и мы не сможем найти столбца веса 1. Если с самого начала отсутствует горизонталь веса n , то есть горизонталь веса 0, и мы можем провести те же рассуждения, поменяв ролями закрашенные и незакрашенные клетки.

Ответ задачи отсутствует