Олимпиадная задача по планиметрии и стереометрии для 10–11 класса: сфера и тетраэдр от Емельянова Л. А.

Рис. 1

Пусть σ – сфера из условия задачи, σ1– сфера, описанная около тетраэдра SA1B1C1. Эти сферы пересекаются по окружности γ , описанной около треугольника A1B1C1 (см. рис. 1) . Выберем на γ произвольно точку K1, пусть K – вторая точка пересечения луча SK1со сферой σ . Рассмотрим сечение сфер σ и σ1плоскостью α=SAK . Пусть l – касательная к сечению сферы σ1плоскостью α , проведенная в точке S (см. рис. 2) . Тогда 1= 2и 2=π- A1K1K= 3, следовательно 1= 3и, значит, AK|| l . Поэтому если β – плоскость, касающаяся σ1в точке S , то AK||β . Поэтому лучи, проведенные из точки S и пересекающие окружность γ , вторично пересекают сферу σ в точках, лежащих в одной плоскости τ . Точки A , B и C лежат в этой плоскости, следовательно τ проходит через точку O1– центр сферы σ .            Рис. 2                             Рис. 3 Теперь рассмотрим множество плоскостей, касающихся σ в точках, принадлежащих γ . Они касаются некоторого конуса с вершиной в точке O (и образующими OA1, OB1, OC1). Проведем плоскость через точки O , O1и S . В сечении получатся две пересекающиеся окружности (см. рис. 3) , при этом

SP1P= SQ1Q=90^o,

так как O1 PQ . Но OP1и OQ1– касательные к окружности с центром O1, поэтому

SPP1= SQQ1= OQ1P1= OP1Q,

т.е. Δ Q1OP1– равнобедренный и Q1OP1=180^o-2· OQ1P1= 2(90^o- SPP1)= 2· Q1SP1. Отсюда и из равенства OP1=OQ1следует, что O – центр окружности, описанной около Δ SP1Q1. Но тогда OS=OP1=OA1=OB1=OC1, т.е. O – центр сферы σ1.

Ответ задачи отсутствует