Олимпиадная задача по стереометрии: равноудалённость точек в пирамиде SABC, 10-11 класс
Задача
Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .
Решение
Из теоремы о трех перпендикулярах следует, что SD – высота в грани SAB .
Так как SS' – диаметр окружности, проходящей через S , S' и A ,
то 
SAS' = 90o (см. рис.) .
Обозначив через R и r соответственно радиусы описанной сферы
пирамиды и вписанной окружности треугольника ABC , имеем S'A'2 = S'A2+AA'2 = (SS'2 - SA2) +AD2 = SS'2 - (SA2 -AD2) =
SS'2 - SD2 = SS'2 - (SI2+ID2) = (2R)2 - SI2 - r2 .
Аналогично вычисляя S'B' и S'C' , получаем, что S'A' = S'B' = S'C' = 
.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь