Олимпиадные задачи по теме «Корни. Степень с рациональным показателем» для 8 класса

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116794/problem_116794_img_2.gif"> .

Для неотрицательных чисел <i>x</i> и <i>y</i>, не превосходящих 1, докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110027/problem_110027_img_2.gif">

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна 3. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109763/problem_109763_img_2.gif">

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109540/problem_109540_img_2.gif">

Дано натуральное число $N$. Для того чтобы найти целое число, ближайшее к $\sqrt{N}$, воспользуемся следующим способом: найдём среди квадратов натуральных чисел число $a^2$, ближайшее к числу $N$; тогда $a$ и будет искомым числом. Обязательно ли этот способ даст правильный ответ?

Доказать, что выражение <center><i>

<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_3.gif">

</i></center> равно 2, если<i> 1<= a <= 2 </i>, и равно<i> 2<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_4.gif"> </i>, если<i> a>2 </i>.

Назовём <i>белыми</i> числа вида $\sqrt{a+b\sqrt{2}}$, где $a$ и $b$  — целые, не равные нулю. Аналогично, назовём <i>чёрными</i> числа вида $\sqrt{c+d\sqrt{7}}$, где $c$ и $d$  — целые, не равные нулю. Может ли чёрное число равняться сумме нескольких белых?

Сравните без помощи калькулятора числа:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104092/problem_104092_img_2.jpg">.

Коэффициенты квадратного уравнения  <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0  изменили не больше чем на 0,001.

Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?

Пусть <i>m, n</i> и <i>k</i> – натуральные числа, причём  <i>m > n</i>.  Какое из двух чисел больше:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98129/problem_98129_img_2.gif">   или   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98129/problem_98129_img_3.gif"> (В каждом выражении <i>k</i> знаков квадратного корня, <i>m</i> и <i>n</i> чередуются.)

Докажите, что для любого натурального  <i>n</i> ≥ 2  справедливо неравенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97937/problem_97937_img_2.gif">.

Найдите все значения <i>а</i>, для которых выражения   <i>а</i> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   и   ¹/_<i>а</i> – <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/86505/problem_86505_img_2.gif">   принимают целые значения.

Решите уравнение<div align="CENTER"> (<i>x</i>² + <i>x</i>)² + $\displaystyle \sqrt{x^2-1}$ = 0. </div>

Найти все значения <i>x, y</i> и <i>z</i>, удовлетворяющие равенству $\sqrt{x-y+z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}$.

Упростить выражение   <img width="188" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79410/problem_79410_img_2.gif">.

Дано число<i>x</i>, большее 1. Обязательно ли имеет место равенство<div align="CENTER"> [$\displaystyle \sqrt{[\sqrt{x}]}$] = [$\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}}$]? </div>

Дано число  <i>A</i> = <img width="16" height="44" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79263/problem_79263_img_2.gif"><img width="66" height="41" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79263/problem_79263_img_3.gif"><img width="28" height="46" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79263/problem_79263_img_4.gif">,  где <i>n</i> и <i>m</i> – натуральные числа, не меньшие 2.

Доказать, что существует такое натуральное <i>k</i>, что  <i>A</i> = <img width="93" height="58" align="MIDDLE" b...

Дано: $$ a_1=1,a_k=\left[\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}\right].$$Найти $a_{1000}$. <b>Примечание.</b> $\left[A\right]$ — целая часть $A$.

Решить в целых числах уравнение   <img width="141" height="87" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78517/problem_78517_img_2.gif"> = <i>m</i>.

Доказать неравенство<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$. </div>

Для любых натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_m</i>, никакие два из которых не равны друг другу и ни одно из которых не делится на квадрат натурального числа, большего единицы, а также для любых целых и отличных от нуля целых чисел <i>b</i>₁, <i>b</i>₂, ..., <i>b_m</i> сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/73620/problem_73620_img_2.gif">   не равна нулю. Докажите это.

Пусть <i>p</i> – произвольное вещественное число. Найдите все такие <i>x</i>, что сумма кубических корней из чисел  1 – <i>x</i>  и  1 + <i>x</i>  равна <i>p</i>.

Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня) $$ \sqrt{(* + )\cdot \sqrt{( + ) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{+*}}}} . $$ Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?

Известно, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66357/problem_66357_img_2.gif">   где  <i>x</i> > 0,  <i>y</i> > 0,  <i>z</i> > 0.  Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66357/problem_66357_img_3.gif">

Что больше:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65908/problem_65908_img_2.gif">   или   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65908/problem_65908_img_3.gif">