Решим в целых числах более общее уравнение  A_y(x) = z,  где  A_y(x) = .  Очевидно,   x + A_y–1(x) = z²,  или  A_y–1(x) = z² – x.

  Таким образом, если число  A_y(x) = z  – целое, то и число  A_y–1(x) = (z² – x)  – целое; но тогда и число  A_y–2(x) = (z² – x)² – x  – тоже целое, и  A_y–3  – целое, ..., и  A₁(x) =   – целое. Следовательно,  x = t²  – целое (где t – целое).

  С другой стороны, для любого целого t  (t², 1, t)  – решение нашего уравнения.

  Пусть  y > 1.  При этом числа  A₁(x) = = t  и  A₂(x) = = =   должны быть целыми. Но числа t и  t + 1  – взаимно просты, откуда следует, что t и  t + 1  – полные квадраты, то есть  t = 0.  Значит,  x = 0  и  A_y(x) = 0  при любом y.

(0, 0).