Назад
Задача 177972 • Сложность: 3 • 8-10 класс
Задача

Доказать неравенство

$\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$.

Решение

Пустьa=$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}{n-1}^{},$. Тогда$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}{n}^{},$=$\sqrt{2+a}$.

Таким образом, требуется доказать, что

$\displaystyle {\frac{2-\sqrt{2+a}}{2-a}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$.

Индукцией поnлегко доказать, чтоa< 2. Поэтому следующие неравенства эквивалентны требуемому:
8 - 4$\displaystyle \sqrt{2+a}$ > 2 - a,
6 + a > 4$\displaystyle \sqrt{2+a}$.
После возведения в квадрат получаем неравенство36 + 12a+a2> 32 + 16a, т.е. (a- 2)2> 0.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет