Олимпиадные задачи по теме «Дроби» для 9 класса - сложность 1-3 с решениями

Мальчик с папой стоят на берегу моря. Если мальчик встанет на цыпочки, его глаза будут на высоте 1 м от поверхности моря, а если сядет папе на плечи, то на высоте 2 м. Во сколько раз дальше он будет видеть во втором случае. (Найдите ответ с точностью до 0,1, радиус Земли считайте равным 6000 км.)

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи).

На каждом из двух огородов Дед посадил по одинаковому количеству репок. Если в огород заходит Внучка, то она выдергивает ровно &frac13; репок, имеющихся к этому моменту. Если заходит Жучка, то она выдергивает ¹/₇ репок, а если заходит Мышка, то она выдергивает только ¹/₁₂ репок. К концу недели на первом огороде осталось 7 репок, а на втором – 4. Заходила ли Жучка во второй огород?

На доске написано натуральное число. Если на доске написано число <i>x</i>, то можно дописать на нее число  2<i>x</i> + 1  или ^<i>x</i>/_<i>x</i>+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.

В бесконечной последовательности  (<i>x_n</i>)  первый член <i>x</i>₁ – рациональное число, большее 1, и  <i>x</i>_<i>n</i>+1 = <i>x_n</i> + ¹/_{[<i>x_n</i>]}  при всех натуральных <i>n</i>.

Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Даны положительные рациональные числа <i>a, b</i>. Один из корней трёхчлена  <i>x</i>² – <i>ax + b</i>  – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид  ^<i>m</i>/_<i>n</i>.  Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел <i>a</i> и <i>b</i> (в несократимой записи) не меньше <i>n</i>^2/3.

Для некоторых натуральных чисел <i>a, b, c</i> и <i>d</i> выполняются равенства  <i>^a/_c = ^b/_d</i> = ^<i>ab</i>+1/_<i>cd</i>+1.  Докажите, что  <i>a = c</i>  и  <i>b = d</i>.

Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа <i>k</i>, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем <i>k</i> существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?

Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены <i>запрещёнными</i>. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом <i>T</i>.

Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше <i>T</i>.

Назовём натуральные числа <i>похожими</i>, если они записываются с помощью одного и того же набора цифр (например, для набора цифр 1, 1, 2 похожими будут числа 112, 121, 211). Докажите, что существуют такие три похожих 1995-значных числа, в записи которых нет нулей, что сумма двух из них равна третьему.

Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй – на треть, третий – на четверть, четвёртый – на &frac15;, пятый – на &frac18;, шестой – на ¹/₉, и седьмой – на ¹/₁₀. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным   а) на ¹/₁₂;   б) на &frac16;?

Даны такие натуральные числа<i>a</i>и<i>b</i>, что число  ^<i>a</i>+1/_<i>b</i>+^<i>b</i>+1/_<i>a</i>  является целым. Докажите, что наибольший общий делитель чисел<i>a</i>и<i>b</i>не превосходит числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109551/problem_109551_img_2.gif">.

Несколько школьников ходили за грибами. Школьник, набравший наибольшее количество грибов, собрал &frac15; общего количества грибов, а школьник, набравший наименьшее количество грибов, собрал ¹/₇ часть от общего количества. Сколько было школьников?

В числе  <i>a</i> = 0,12457...  <i>n</i>-я цифра после запятой равна цифре слева от запятой в числе  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109196/problem_109196_img_2.gif">  Докажите, что α – иррациональное число.

Пусть  <img width="120" height="41" align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109193/problem_109193_img_2.gif"> = <img width="23" height="47" align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109193/problem_109193_img_3.gif">,  где  <img width="23" height="47" align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109193/problem_109193_img_3.gif">  – несократимая дробь.

Докажите, что неравенство  <i>b</i>_<i>n</i>+1 < <i>b_n</i> выполнено для бесконечного числа натуральных <i>n</i>.

При разложении чисел <i>A</i> и <i>B</i> в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа  <i>A + B</i>?

Бесконечная последовательность чисел <i>x_n</i> определяется условиями:   <i>x</i>_<i>n</i>+1 = 1 – |1 – 2<i>x_n</i>|,  причём  0 ≤ <i>x</i>₁ ≤ 1.

Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда <i>x</i>₁ рационально.

Ваня считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например,  ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈.  Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".

Число ¹/₄₂ разложили в бесконечную десятичную дробь. Затем вычеркнули 1997-ю цифру после запятой, а все цифры, стоящие справа от вычеркнутой цифры, сдвинули на 1 влево. Какое число больше: новое или первоначальное?

Найти все несократимые дроби ^<i>а</i>/_<i>b</i>, представимые в виде <i>b,а</i> (запятая разделяет десятичные записи натуральных чисел <i>b</i> и <i>а</i>).

На острове &frac23; всех мужчин женаты и &frac35; всех женщин замужем. Какая доля населения острова состоит в браке?

Сравнив дроби  ¹¹¹¹¹⁰/₁₁₁₁₁₁,  ²²²²²¹/₂₂₂₂₂₃,  ³³³³³¹/₃₃₃₃₃₄,  расположите их в порядке возрастания.