Олимпиадные задачи по математике
Бесконечная последовательность чисел <i>x<sub>n</sub></i> определяется условиями: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = 1 – |1 – 2<i>x<sub>n</sub></i>|, причём 0 ≤ <i>x</i><sub>1</sub> ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда <i>x</i><sub>1</sub> рационально.
{<i>a<sub>n</sub></i>} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за <i>x</i> идёт 1 – |1 – 2<i>x</i>|.
а) Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то <i>a</i><sub>1</sub> рационально.