Олимпиадная задача по дробям и последовательностям для 9-10 класса Канель-Белова

Запрещённых сочетаний цифр конечное число, следовательно, есть такое число N, что все запрещённые сочетания цифр не длиннее N символов. В бесконечной десятичной дроби можно найти два одинаковых куска длины N. Пусть у разрешённой дроби  a₀,a₁a₂...  куски  a_k...a_k+N–1  и  a_m...a_m+N–1  совпали. Докажем, что дробь  0,(a_k...a_m–1)  удовлетворяет условию. Предположим противное: в этой дроби есть запрещённые сочетания цифр. Возьмём то, которое встретится самым первым. Очевидно, что хотя бы один символ из данного запрёщенного сочетания цифр попадет в первый период. Но тогда конец этого сочетания цифр имеет номер не более  m – 1 – k + N,  то есть оно будет содержаться в куске  a_k...a_m+N–1  исходной дроби. Противоречие.

Ответ задачи отсутствует