Олимпиадная задача о баллонах: уравнивание давлений, средние, делимость
Задача
Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа k, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем k существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?
Решение
При k= 5 годится следующий способ уравнивания давлений. Разделив баллоны на 8 групп по 5 баллонов, уравняем давления в баллонах каждой из этих групп. Затем образуем 5 новых групп так, чтобы каждая из них состояла из 8 баллонов, входивших ранее в разные группы. Равенства давлений в баллонах каждой из новых групп (а значит, и во всех 40 баллонах) достигнем, соединив сначала баллоны по четыре, а затем – по два, беря в каждую пару баллоны из разных четверок. Покажем, что при k≤ 4 нужного способа не существует. Пусть значение давления в одном из баллонов равно 2, а в каждом из остальных – 1; тогда после уравнивания значение давления в каждом баллоне должно оказаться равным (2 + 39) : 40 =41/40. Но после каждого соединения все значения будут выражаться несократимыми дробями, знаменатели которых не делятся на 5. В самом деле, если перед каким-либо соединением ни один из знаменателей на 5 не делился, то и знаменатель среднего арифметического соответствующих двух, трёх или четырёх дробей, являясь удвоенным, утроенным или учетверенным наименьшим общим кратным их знаменателей, не может оказаться кратным 5. А так как 40 кратно 5, то уравнять давление при указанных первоначальных их значениях мы не сможем.
Ответ
При k = 5.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь